Esboce o gráfico da equação para
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é esboçar o gráfico da equação
para diferentes valores de
. Vamos trabalhar com
e
em um sistema de coordenadas, e com
e
em outro. Para isso, vamos precisar entender como as potências de
afetam o formato do gráfico e como o sinal negativo influencia a direção.
Passo 2
Vamos começar com
. A equação fica
. Isso é uma função linear, que é uma reta. O coeficiente de
é -1, o que significa que a reta tem inclinação negativa. Ou seja, conforme
aumenta,
diminui. O gráfico passa pela origem (0,0) e desce da esquerda para a direita.
Passo 3
Agora, para
. A equação é
. Essa é uma função cúbica. As funções cúbicas têm curvas simétricas em relação à origem, chamadas de simetria ímpar. O sinal negativo faz com que a função seja uma reflexão da função
sobre o eixo
. Então, quando
é positivo,
é negativo, e vice-versa. O gráfico tem uma curva que desce rapidamente para a direita e sobe para a esquerda.
Passo 4
Agora vamos para o outro sistema de coordenadas com
e
. Primeiro, para
, a equação é
. Essa é uma função quadrática, formando uma parábola. O coeficiente negativo faz com que a parábola abra para baixo, ou seja, tem um ponto máximo na origem (0,0). À medida que
aumenta,
diminui.
Passo 5
Por fim, para
, a equação fica
. Essa também é uma função polinomial, ainda par como
, e a parábola (na verdade, uma curva semelhante a uma parábola) também abre para baixo devido ao sinal negativo. A curva é mais “achatada” perto da origem e mais “afiada” nas extremidades em comparação com
.
Resposta
Resumindo, ao esboçar os gráficos de
:
- Para
: Temos uma reta descendente que passa pela origem. - Para
: O gráfico é uma curva cúbica simétrica à origem, descendo para a direita e subindo para a esquerda. - Para
: A parábola abre para baixo, com o ponto máximo na origem. - Para
: A curva semelhante à parábola também abre para baixo, sendo mais “achatada” perto da origem e mais “afiada” nas extremidades.
Esses esboços nos ajudam a visualizar como diferentes potências de
afetam o formato do gráfico da função.
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Esboce o gráfico da equação para
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema de coordenadas.
Preencha os espaços em branco para cada uma das Equações Diferenciais.
Equação Diferencial | Ordinária ou Parcial | Ordem | Grau |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente.
Esboce o gráfico da equação para
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema de coordenadas.