Esboce o gráfico da equação para em um sistema de coordenadas e para em outro sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é esboçar o gráfico da equação para diferentes valores de . Vamos trabalhar com e em um sistema de coordenadas, e com e em outro. Para isso, vamos precisar entender como as potências de afetam o formato do gráfico e como o sinal negativo influencia a direção.

Passo 2

Vamos começar com . A equação fica . Isso é uma função linear, que é uma reta. O coeficiente de é -1, o que significa que a reta tem inclinação negativa. Ou seja, conforme aumenta, diminui. O gráfico passa pela origem (0,0) e desce da esquerda para a direita.

Passo 3

Agora, para . A equação é . Essa é uma função cúbica. As funções cúbicas têm curvas simétricas em relação à origem, chamadas de simetria ímpar. O sinal negativo faz com que a função seja uma reflexão da função sobre o eixo . Então, quando é positivo, é negativo, e vice-versa. O gráfico tem uma curva que desce rapidamente para a direita e sobe para a esquerda.

Passo 4

Agora vamos para o outro sistema de coordenadas com e . Primeiro, para , a equação é . Essa é uma função quadrática, formando uma parábola. O coeficiente negativo faz com que a parábola abra para baixo, ou seja, tem um ponto máximo na origem (0,0). À medida que aumenta, diminui.

Passo 5

Por fim, para , a equação fica . Essa também é uma função polinomial, ainda par como , e a parábola (na verdade, uma curva semelhante a uma parábola) também abre para baixo devido ao sinal negativo. A curva é mais “achatada” perto da origem e mais “afiada” nas extremidades em comparação com .

Resposta

Resumindo, ao esboçar os gráficos de :
  • Para : Temos uma reta descendente que passa pela origem.
  • Para : O gráfico é uma curva cúbica simétrica à origem, descendo para a direita e subindo para a esquerda.
  • Para : A parábola abre para baixo, com o ponto máximo na origem.
  • Para : A curva semelhante à parábola também abre para baixo, sendo mais “achatada” perto da origem e mais “afiada” nas extremidades.
Esses esboços nos ajudam a visualizar como diferentes potências de afetam o formato do gráfico da função.

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Preencha os espaços em branco para cada uma das Equações Diferenciais.
Equação Diferencial Ordinária ou Parcial Ordem Grau
Variável
independente
Variável
Dependente
1
2
3
4
Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente.
Esboce o gráfico da equação para em um sistema de coordenadas e para em outro sistema de coordenadas.