Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas. .
Passo 1
Beleza! Então, você tem que esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas sobre seus limites e valores em certos pontos. Vamos usar conceitos de limites e funções definidas por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das condições que a função precisa satisfazer:
: Isso significa que quando se aproxima de 1 pela esquerda, a função se aproxima de 0.
: Aqui, quando se aproxima de 1 pela direita, a função se aproxima de 1.
: Quando se aproxima de 2 por qualquer lado, a função se aproxima de 3.
: O valor da função em é 2.
: O valor da função em é 1.
Passo 3
Vamos construir a função por partes para atender a essas condições. Como temos diferentes comportamentos em torno de e , vamos dividir a função nesses intervalos:
Para : A função se aproxima de 0 quando se aproxima de 1 pela esquerda. Podemos escolher uma linha horizontal próxima a 0, mas precisamos que . Então, vamos usar uma reta que passa por e se aproxima de 0 conforme se aproxima de 1.
Para : A função se aproxima de 1 quando se aproxima de 1 pela direita e de 3 quando se aproxima de 2. Podemos usar uma reta que vai de a algo próximo a .
Para : Aqui, . Então, temos um ponto específico no gráfico.
Para : A função se aproxima de 3 quando se aproxima de 2. Podemos escolher uma reta horizontal próxima a 3.
Passo 4
Vamos definir a função da seguinte forma:
Explicações:
Para : Escolhemos uma reta decrescente que passa por e se aproxima de 0 conforme se aproxima de 1.
Para : Uma reta que começa em e aumenta até se aproximar de .
Para : Definimos conforme a condição.
Para : Mantemos a função constante em 3, já que o limite quando aproxima de 2 é 3.
Resposta
A função que satisfaz todas as condições dadas é:
Esse gráfico terá uma reta decrescente para , uma reta crescente entre 1 e 2, um ponto específico em , e uma linha horizontal para .