Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
.

Passo 1

Beleza! Então, você tem que esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas sobre seus limites e valores em certos pontos. Vamos usar conceitos de limites e funções definidas por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das condições que a função precisa satisfazer:
  1. : Isso significa que quando se aproxima de 1 pela esquerda, a função se aproxima de 0.
  2. : Aqui, quando se aproxima de 1 pela direita, a função se aproxima de 1.
  3. : Quando se aproxima de 2 por qualquer lado, a função se aproxima de 3.
  4. : O valor da função em é 2.
  5. : O valor da função em é 1.

Passo 3

Vamos construir a função por partes para atender a essas condições. Como temos diferentes comportamentos em torno de e , vamos dividir a função nesses intervalos:
  1. Para : A função se aproxima de 0 quando se aproxima de 1 pela esquerda. Podemos escolher uma linha horizontal próxima a 0, mas precisamos que . Então, vamos usar uma reta que passa por e se aproxima de 0 conforme se aproxima de 1.
  2. Para : A função se aproxima de 1 quando se aproxima de 1 pela direita e de 3 quando se aproxima de 2. Podemos usar uma reta que vai de a algo próximo a .
  3. Para : Aqui, . Então, temos um ponto específico no gráfico.
  4. Para : A função se aproxima de 3 quando se aproxima de 2. Podemos escolher uma reta horizontal próxima a 3.

Passo 4

Vamos definir a função da seguinte forma:
Explicações:
  • Para : Escolhemos uma reta decrescente que passa por e se aproxima de 0 conforme se aproxima de 1.
  • Para : Uma reta que começa em e aumenta até se aproximar de .
  • Para : Definimos conforme a condição.
  • Para : Mantemos a função constante em 3, já que o limite quando aproxima de 2 é 3.

Resposta

A função que satisfaz todas as condições dadas é:
Esse gráfico terá uma reta decrescente para , uma reta crescente entre 1 e 2, um ponto específico em , e uma linha horizontal para .

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