Prove que:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que para todo número inteiro que seja maior ou igual a 1. A matéria que vamos usar aqui é matemática discreta, mais especificamente o princípio da indução matemática. Vamos precisar mostrar que a desigualdade é verdadeira para o primeiro caso ( ) e que, se for verdadeira para um número qualquer , também será para .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação vale para . Substituindo:
Claramente, , então a base da nossa prova está certa!

Passo 3

Agora, vamos supor que a desigualdade é verdadeira para algum número , ou seja, . Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se , então também vale para , ou seja, .
Vamos começar a partir da nossa hipótese:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Sabemos que , então:
Assim, temos:
Isso confirma que a desigualdade também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que para todo número inteiro .

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