Prove que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
para todo número inteiro
que seja maior ou igual a 1. A matéria que vamos usar aqui é matemática discreta, mais especificamente o princípio da indução matemática. Vamos precisar mostrar que a desigualdade é verdadeira para o primeiro caso (
) e que, se for verdadeira para um número qualquer
, também será para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação vale para
. Substituindo:
Claramente,
, então a base da nossa prova está certa!
Passo 3
Agora, vamos supor que a desigualdade é verdadeira para algum número
, ou seja,
. Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se
, então também vale para
, ou seja,
.
Vamos começar a partir da nossa hipótese:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Sabemos que
, então:
Assim, temos:
Isso confirma que a desigualdade também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, provamos que
para todo número inteiro
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaz todas as condiçôes dadas.
Sejam
e
conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é aberto.
Calcule os limites abaixo.
Mostre que todo conjunto aberto
é uma reunião de intervalos abertos.