Esboce o gráfico de e ache cada limite (caso ele exista): e .
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função e calcular os limites quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ), pela direita ( ) e o limite geral em . Para isso, vamos usar conceitos de funções definidas por partes e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida. Ela é uma função peça por peça:
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 1, usamos , e para valores maiores que 1, usamos .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função.
  1. Para : A função é , que é uma curva crescente que passa pela origem (0,0) e no ponto (1,1), já que .
  2. Para : A função é , que é uma reta decrescente que passa pelo ponto (1,2), pois substituindo , temos .
Vamos juntar essas duas partes no gráfico, certificando-nos de que em a função tem o valor de (usando a primeira parte da definição).

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites. Primeiro, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ).
Isso porque estamos usando a parte da função para valores menores ou iguais a 1.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ).
Aqui, usamos a parte da função para valores maiores que 1.

Passo 6

Por fim, para encontrar o limite geral quando se aproxima de 1 ( ), precisamos verificar se os limites pela esquerda e pela direita são iguais.
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O gráfico de é composto por para e por para . Os limites são:
E o limite geral não existe.

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Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(b)
Esboce o gráfico de e ache cada limite (caso ele exista): e .
(d)
Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
(1)
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(a)