Esboce o gráfico de
e ache cada limite (caso ele exista):
e
.
©
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
e calcular os limites quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
), pela direita (
) e o limite geral em
. Para isso, vamos usar conceitos de funções definidas por partes e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida. Ela é uma função peça por peça:
Isso significa que para valores de
menores ou iguais a 1, usamos
, e para valores maiores que 1, usamos
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função.
- Para
: A função é , que é uma curva crescente que passa pela origem (0,0) e no ponto (1,1), já que . - Para
: A função é , que é uma reta decrescente que passa pelo ponto (1,2), pois substituindo , temos .
Vamos juntar essas duas partes no gráfico, certificando-nos de que em
a função tem o valor de
(usando a primeira parte da definição).
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites. Primeiro, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
).
Isso porque estamos usando a parte da função
para valores menores ou iguais a 1.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
).
Aqui, usamos a parte da função
para valores maiores que 1.
Passo 6
Por fim, para encontrar o limite geral quando
se aproxima de 1 (
), precisamos verificar se os limites pela esquerda e pela direita são iguais.
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite geral
não existe.
Resposta
O gráfico de
é composto por
para
e por
para
. Os limites são:
E o limite geral
não existe.
Exercícios relacionados
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(b)
(b)
Esboce o gráfico de
e ache cada limite (caso ele exista):
e
.
(d)
(d)
Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
(1)
(1)
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(a)
(a)