Seja
. Mostre que
. Use esse resultado para determinar
que tenha a transformada de Laplace igual a:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. O enunciado pede para mostrarmos que
e, em seguida, usar esse resultado para determinar
quando a transformada de Laplace
é dada por
. Para isso, vamos precisar entender como manipular derivadas de funções no domínio de Laplace e como aplicar a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a transformada de Laplace de uma função e a de sua derivada. Lembramos que, se
, então a derivada de
em relação a
está relacionada a
de uma maneira específica.
Passo 3
A propriedade que nos ajuda aqui é a seguinte:
Isso significa que a transformada de Laplace de
é igual a menos a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Para isso, reescrevemos a propriedade:
Agora, isolamos
:
Isso confirma a igualdade que o enunciado nos pediu para mostrar.
Passo 5
Agora, vamos aplicar esse resultado para determinar
quando
.
Primeiro, precisamos encontrar
, a derivada de
em relação a
:
Usando a regra da derivada de logaritmo:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de
:
Podemos simplificar a expressão:
Para calcular a transformada inversa, podemos usar frações parciais:
Então,
Sabemos que:
Então,
Passo 7
Finalmente, aplicamos a relação que encontramos no Passo 4:
Resposta
A função
é dada por:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
(b)
(b)
Esboce o gráfico de
e ache sua transformada de Laplace :
(d)
(d)
Ache a transformada inversa de:
(1)
(1)
Esboce os gráficos das seguintes funçōes para
:
(d)
(d)