Seja . Mostre que . Use esse resultado para determinar que tenha a transformada de Laplace igual a:
(a)

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. O enunciado pede para mostrarmos que e, em seguida, usar esse resultado para determinar quando a transformada de Laplace é dada por . Para isso, vamos precisar entender como manipular derivadas de funções no domínio de Laplace e como aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a transformada de Laplace de uma função e a de sua derivada. Lembramos que, se , então a derivada de em relação a está relacionada a de uma maneira específica.

Passo 3

A propriedade que nos ajuda aqui é a seguinte:
Isso significa que a transformada de Laplace de é igual a menos a derivada de em relação a .

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Para isso, reescrevemos a propriedade:
Agora, isolamos :
Isso confirma a igualdade que o enunciado nos pediu para mostrar.

Passo 5

Agora, vamos aplicar esse resultado para determinar quando .
Primeiro, precisamos encontrar , a derivada de em relação a :
Usando a regra da derivada de logaritmo:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de :
Podemos simplificar a expressão:
Para calcular a transformada inversa, podemos usar frações parciais:
Então,
Sabemos que:
Então,

Passo 7

Finalmente, aplicamos a relação que encontramos no Passo 4:

Resposta

A função é dada por:

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(b)
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(d)
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(d)