Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função e, a partir desse esboço, identificar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos. A função é uma função definida por partes, ou seja, ela tem expressões diferentes dependendo do intervalo de . Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar gráficos de funções quadráticas e lineares, além de identificar pontos de interesse no gráfico, como vértices e interseções.

Passo 2

Vamos começar identificando as duas partes da função:
  1. para
  2. para
A primeira parte é uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de é negativo. A segunda parte é uma função linear, que é uma reta com inclinação positiva.

Passo 3

Primeiro, vamos esboçar o gráfico de no intervalo .
  • A parábola tem vértice no ponto .
  • Quando :
  • Quando :
Então, nessa parte, a parábola desce de até .

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico de no intervalo .
  • É uma reta com inclinação e intercepto em .
  • Quando :
  • Quando :
Então, nessa parte, a reta sobe de até .

Passo 5

Vamos agora juntar os dois gráficos. Observamos que em , a primeira função dá e a segunda dá . Para manter a continuidade da função, precisamos decidir qual valor será para . Neste caso, como a segunda parte é definida para , usaremos .

Passo 6

Com os gráficos esboçados, identificamos os pontos importantes:
  • Vértice da parábola em que na verdade não pertence ao gráfico final, já que em usamos .
  • Pontos nas extremidades: , e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos:
  • Máximo local e absoluto: O ponto mais alto no gráfico é , mas como não pertence ao gráfico final, o próximo valor mais alto é .
  • Mínimo local e absoluto: O ponto mais baixo no gráfico é .

Resposta

Os valores máximos e mínimos de são:
  • Máximo absoluto:
  • Mínimo absoluto:

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Encontre os números críticos da função.
Encontre os valores máximo e mínimo absoluto def fu valo dado. ,