Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)
.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício em que precisamos desenhar o gráfico da função no intervalo de até . O objetivo é identificar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos, dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções trigonométricas e suas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A tangente de um ângulo é igual ao seno dividido pelo cosseno:
Sabemos que o cosseno de é zero em , o que faz com que a tangente não esteja definida nesse ponto (resulta em uma assíntota vertical).

Passo 3

Agora, vamos analisar os pontos importantes no intervalo dado :
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :
E sabemos que a tangente tende a quando se aproxima de pela esquerda.

Passo 4

Vamos desenhar o gráfico com base nesses pontos:
  • Em , o valor é -1.
  • Em , o valor é 0.
  • Em , o valor é 1.
  • Perto de , o gráfico sobe verticalmente, indicando que a função tende ao infinito.
O gráfico da função entre e será uma curva crescente que passa por esses pontos e se aproxima de uma assíntota vertical em .

Passo 5

Agora, vamos identificar os extremos:
  • Mínimo Local e Absoluto: O menor valor que a função atinge nesse intervalo é -1, que ocorre em .
  • Máximo Local e Absoluto: A função não possui um máximo finito porque ela tende ao infinito conforme se aproxima de . Portanto, não há um valor máximo absoluto definido nesse intervalo.

Resposta

No intervalo , a função tem um mínimo absoluto de -1 em e não possui um máximo absoluto, já que a função tende ao infinito próximo a .

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Encontre os números críticos das funções.
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Não há máximos ou mínimos.