Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar o gráfico da função no intervalo e, a partir desse esboço, identificar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre gráficos de funções quadráticas e como identificar pontos importantes como máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função quadrática que, normalmente, tem um formato de parábola voltada pra cima. Isso significa que o ponto mais baixo da parábola é o seu mínimo.

Passo 3

Como nosso domínio é , vamos considerar apenas essa parte da parábola. Então, vamos plotar alguns pontos para ajudar no esboço:
  • Quando , . Mas como é maior que 0, esse ponto não está incluído.
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 4

Agora, vamos desenhar a parábola começando um pouquinho acima de (já que não pode ser igual a 0) até . A parábola vai passar pelos pontos (1,1) e (2,4). Como a parábola está aberta pra cima, o menor valor de ocorre no ponto mais baixo, que no nosso caso, será próximo de .

Passo 5

Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos analisar:
  • Mínimo Local e Absoluto: O menor valor de ocorre quando está mais próximo de 0. Como , o mínimo é tende a 0, mas não chega a ser exatamente 0.
  • Máximo Local e Absoluto: O maior valor de no intervalo é quando , que dá .

Resposta

No intervalo , a função tem um mínimo absoluto próximo de 0 e um máximo absoluto de 4, que ocorre quando .

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Mínimo absoluto: .
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