Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)
.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo.
Enunciado resumido: Precisamos desenhar o gráfico da função no intervalo de e, usando esse desenho, identificar os valores máximos e mínimos da função, tanto locais quanto absolutos.
Matéria envolvida: Aqui estamos lidando com funções quadráticas, gráficos de funções e análise de máximos e mínimos.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecimento básico de gráficos de funções quadráticas.
  • Entender como as transformações afetam o gráfico da função.
  • Saber identificar pontos máximos e mínimos a partir do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função .
Sabemos que a função básica é uma parábola com vértice na origem (0,0) e que se abre para cima. Agora, vamos ver como as transformações afetam essa parábola:
  1. Translação horizontal: significa que a parábola foi movida 1 unidade para a esquerda.
  2. Translação vertical: O “+1” fora do quadrado significa que a parábola foi movida 1 unidade para cima.
Então, o vértice da nossa parábola está agora em .

Passo 3

Agora, vamos desenhar o gráfico à mão usando essas informações:
  1. Vértice: Marca o ponto no gráfico.
  2. Abertura para cima: Como o coeficiente de é positivo, a parábola se abre para cima.
  3. Intervalo de definição: Estamos considerando . Então, vamos desenhar a parábola apenas nesse intervalo.
  4. Pontos adicionais: Podemos calcular alguns valores de para para ter mais pontos no gráfico.
Vamos calcular:
  • (vértice)

Passo 4

Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico dentro do intervalo de . Lembre-se que a parábola se abre para cima e o vértice está no ponto mais baixo.
Visualmente:
  • A parábola começa em com .
  • Vai descendo até o vértice em .
  • Depois, sobe novamente passando pelos pontos calculados.

Passo 5

Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos:
  • Mínimo local: O ponto mais baixo da parábola, que é o vértice .
  • Mínimo absoluto: Como a parábola está abrindo para cima e o vértice é o ponto mais baixo no intervalo considerado, o mínimo absoluto também é .
  • Máximos locais/absolutos: Como a parábola continua subindo indefinidamente para maiores, não há um máximo local ou absoluto no intervalo . Porém, o maior valor dentro desse intervalo ocorre em , onde .

Resposta

O gráfico de no intervalo tem um mínimo absoluto em com e atinge o valor máximo de em . Não há máximos locais além desse dentro do intervalo considerado.

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Encontre os números críticos das funções.