Esboce o gráfico de
à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de
. (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo.
Enunciado resumido: Precisamos desenhar o gráfico da função
no intervalo de
e, usando esse desenho, identificar os valores máximos e mínimos da função, tanto locais quanto absolutos.
Matéria envolvida: Aqui estamos lidando com funções quadráticas, gráficos de funções e análise de máximos e mínimos.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecimento básico de gráficos de funções quadráticas.
- Entender como as transformações afetam o gráfico da função.
- Saber identificar pontos máximos e mínimos a partir do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
.
Sabemos que a função básica
é uma parábola com vértice na origem (0,0) e que se abre para cima. Agora, vamos ver como as transformações afetam essa parábola:
- Translação horizontal:
significa que a parábola foi movida 1 unidade para a esquerda. - Translação vertical: O “+1” fora do quadrado significa que a parábola foi movida 1 unidade para cima.
Então, o vértice da nossa parábola
está agora em
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar o gráfico à mão usando essas informações:
- Vértice: Marca o ponto
no gráfico. - Abertura para cima: Como o coeficiente de
é positivo, a parábola se abre para cima. - Intervalo de definição: Estamos considerando
. Então, vamos desenhar a parábola apenas nesse intervalo. - Pontos adicionais: Podemos calcular alguns valores de
para para ter mais pontos no gráfico.
Vamos calcular:
-
-
(vértice) -
-
-
-
-
Passo 4
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico dentro do intervalo de
. Lembre-se que a parábola se abre para cima e o vértice está no ponto mais baixo.
Visualmente:
- A parábola começa em
com . - Vai descendo até o vértice em
. - Depois, sobe novamente passando pelos pontos calculados.
Passo 5
Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos:
- Mínimo local: O ponto mais baixo da parábola, que é o vértice
. - Mínimo absoluto: Como a parábola está abrindo para cima e o vértice é o ponto mais baixo no intervalo considerado, o mínimo absoluto também é
. - Máximos locais/absolutos: Como a parábola continua subindo indefinidamente para
maiores, não há um máximo local ou absoluto no intervalo . Porém, o maior valor dentro desse intervalo ocorre em , onde .
Resposta
O gráfico de
no intervalo
tem um mínimo absoluto em
com
e atinge o valor máximo de
em
. Não há máximos locais além desse dentro do intervalo considerado.
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