Esboce o gráfico de
, com
. Além disso, determine os extremos globais desta função.
Sugestão: Encontre os pontos críticos; determine os intervalos de crescimento e decrescimento; estude a concavidade.
Atente-se para o fato de que a função é contínua e definida em um intervalo fechado, o que garante a existência dos extremos globais (valor máximo e valor mínimo).
Sugestão: Encontre os pontos críticos; determine os intervalos de crescimento e decrescimento; estude a concavidade.
Atente-se para o fato de que a função é contínua e definida em um intervalo fechado, o que garante a existência dos extremos globais (valor máximo e valor mínimo).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
no intervalo de
a
, e encontrar os extremos globais dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, e analisar a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada
nos intervalos definidos pelos pontos críticos.
-
Para
:
Escolha: Então, a função está crescente nesse intervalo. -
Para
:
Escolha: Então, a função está decrescente nesse intervalo. -
Para
:
Escolha: Então, a função está crescente nesse intervalo.
Passo 4
Vamos agora estudar a concavidade da função, ou seja, analisar a segunda derivada
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos ver onde isso acontece:
-
Para
:
. Então, côncava para cima. -
Para
:
. Então, côncava para baixo.
Passo 5
Sabemos que a função é contínua e definida no intervalo
, então, pelos teoremas, ela possui um valor máximo e mínimo nesse intervalo. Para encontrar os extremos globais, vamos calcular os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Calculando
em:
-
: -
: -
: -
:
Resposta
Os extremos globais da função
no intervalo
são:
- Máximo global:
e - Mínimo global:
e