Esboce o gráfico de f(x) = x^3 - 12x, com -4 <= x <= 4. Além disso, determine os extremos globais desta função.
Sugestão: Encontre os pontos críticos; determine os intervalos de crescimento e decrescimento; estude a concavidade.
Atente-se para o fato de que a função é contínua e definida em um intervalo fechado, o que garante a existência dos extremos globais (valor máximo e valor mínimo).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função no intervalo de a , e encontrar os extremos globais dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, e analisar a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada nos intervalos definidos pelos pontos críticos.
  • Para :
    Escolha :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    Então, a função está decrescente nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.

Passo 4

Vamos agora estudar a concavidade da função, ou seja, analisar a segunda derivada :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos ver onde isso acontece:
  • Para :
    . Então, côncava para cima.
  • Para :
    . Então, côncava para baixo.

Passo 5

Sabemos que a função é contínua e definida no intervalo , então, pelos teoremas, ela possui um valor máximo e mínimo nesse intervalo. Para encontrar os extremos globais, vamos calcular os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Calculando em:
  • :
  • :
  • :
  • :

Resposta

Os extremos globais da função no intervalo são:
  • Máximo global: e
  • Mínimo global: e

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