Esboce o gráfico de seguindo o seguinte roteiro:
(d) Determine os onde a função é côncava para cima e onde é côncava para baixo, bem como os eventuais pontos de inflexão.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar onde a função é côncava para cima e onde é côncava para baixo. Além disso, vamos identificar os possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função, especificamente a segunda derivada, e analisar seu comportamento.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada de . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, sua inclinação em cada ponto. Aplicando as regras de derivação:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que nos informa sobre a concavidade da função. A segunda derivada nos diz se a função está curvada para cima (concavidade para cima) ou para baixo (concavidade para baixo).
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Vamos analisar o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade.
  • Quando , a função é côncava para cima.
  • Quando , a função é côncava para baixo.
O sinal de depende do valor de :
  • Se , , então .
  • Se , , então .

Passo 5

Determinação dos intervalos:
  • Para : ⇒ Côncava para cima.
  • Para : ⇒ Côncava para baixo.

Passo 6

Identificação dos pontos de inflexão. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Analisando :
  • Quando passa de negativo para positivo, muda de negativo para positivo.
  • O ponto onde isso ocorre é .
No entanto, devemos verificar se pertence ao domínio da função:
A função não está definida em , pois teríamos divisão por zero. Portanto, não é um ponto de inflexão, mas sim uma assimptota.

Resposta

A função é côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Não há pontos de inflexão, já que não pertence ao domínio da função.

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(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local
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(f) Estude as assíntotas.