Esboce o gráfico de
seguindo o seguinte roteiro:
(d) Determine os onde a função é côncava para cima e onde é côncava para baixo, bem como os eventuais pontos de inflexão.
(d) Determine os onde a função é côncava para cima e onde é côncava para baixo, bem como os eventuais pontos de inflexão.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar onde a função
é côncava para cima e onde é côncava para baixo. Além disso, vamos identificar os possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função, especificamente a segunda derivada, e analisar seu comportamento.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada de
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, sua inclinação em cada ponto. Aplicando as regras de derivação:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada,
, que nos informa sobre a concavidade da função. A segunda derivada nos diz se a função está curvada para cima (concavidade para cima) ou para baixo (concavidade para baixo).
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Vamos analisar o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade.
- Quando
, a função é côncava para cima. - Quando
, a função é côncava para baixo.
O sinal de
depende do valor de
:
- Se
, , então . - Se
, , então .
Passo 5
Determinação dos intervalos:
- Para
: ⇒ Côncava para cima. - Para
: ⇒ Côncava para baixo.
Passo 6
Identificação dos pontos de inflexão. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Analisando
:
- Quando
passa de negativo para positivo, muda de negativo para positivo. - O ponto onde isso ocorre é
.
No entanto, devemos verificar se
pertence ao domínio da função:
A função
não está definida em
, pois teríamos divisão por zero. Portanto,
não é um ponto de inflexão, mas sim uma assimptota.
Resposta
A função
é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. Não há pontos de inflexão, já que
não pertence ao domínio da função.
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seguindo o seguinte roteiro:
© Determine onde a função é crescente e onde é decrescente.
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seguindo o seguinte roteiro:
(b) Determine os pontos críticos de .
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(e) Determine se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local
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seguindo o seguinte roteiro:
(f) Estude as assíntotas.
(f) Estude as assíntotas.