ESBOCE O GRAFICO
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função
no intervalo de
até
. Vamos usar conceitos de análise de funções, como assíntotas, interceptações e comportamento da função para desenhar esse gráfico de forma clara.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. A função
tem denominador
. Precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, resolvemos:
No intervalo de
a
,
e
estão fora desse intervalo. Então, nosso domínio aqui é de
a
.
Passo 3
Vamos procurar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero e a função tende ao infinito. Já vimos que o denominador é zero em
e
, mas esses pontos não estão no nosso intervalo atual de
a
. Portanto, não temos assíntotas verticais nesse intervalo específico.
Passo 4
Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Olhando para os maiores graus de
no numerador e denominador:
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo
ocorre quando
. Porém,
está fora do nosso intervalo
a
, então não precisamos considerar isso agora.
Para interceptar com o eixo
, resolvemos
:
Mais uma vez,
está fora do nosso intervalo, então não há interceptação com o eixo
entre
e
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função no intervalo de
a
. Vamos calcular alguns valores para entender como a função se comporta.
Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Vemos que conforme
aumenta,
se aproxima de 1, que é a nossa assíntota horizontal.
Passo 7
Vamos traçar o gráfico com base nas informações que coletamos:
- A função está definida de
a . - Não há assíntotas verticais nesse intervalo.
- Há uma assíntota horizontal em
. - Pontos importantes:
-
Com isso, desenhamos uma curva que começa em
e desce suavemente em direção à assíntota horizontal
conforme
aumenta até
.
Resposta
O gráfico da função
no intervalo de
a
inicia-se em
, apresenta uma assíntota horizontal em
e decresce suavemente, aproximando-se cada vez mais de 1 à medida que
aumenta até 5.
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Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
.
Se
, calcule:
.
Calcule os limites:
.