ESBOCE O GRAFICO (2,5) f(x) = x^2 / (x^2 - 2)

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função no intervalo de até . Vamos usar conceitos de análise de funções, como assíntotas, interceptações e comportamento da função para desenhar esse gráfico de forma clara.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. A função tem denominador . Precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, resolvemos:
No intervalo de a , e estão fora desse intervalo. Então, nosso domínio aqui é de a .

Passo 3

Vamos procurar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero e a função tende ao infinito. Já vimos que o denominador é zero em e , mas esses pontos não estão no nosso intervalo atual de a . Portanto, não temos assíntotas verticais nesse intervalo específico.

Passo 4

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Olhando para os maiores graus de no numerador e denominador:
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo ocorre quando . Porém, está fora do nosso intervalo a , então não precisamos considerar isso agora.
Para interceptar com o eixo , resolvemos :
Mais uma vez, está fora do nosso intervalo, então não há interceptação com o eixo entre e .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função no intervalo de a . Vamos calcular alguns valores para entender como a função se comporta.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que conforme aumenta, se aproxima de 1, que é a nossa assíntota horizontal.

Passo 7

Vamos traçar o gráfico com base nas informações que coletamos:
  1. A função está definida de a .
  2. Não há assíntotas verticais nesse intervalo.
  3. Há uma assíntota horizontal em .
  4. Pontos importantes:
Com isso, desenhamos uma curva que começa em e desce suavemente em direção à assíntota horizontal conforme aumenta até .

Resposta

O gráfico da função no intervalo de a inicia-se em , apresenta uma assíntota horizontal em e decresce suavemente, aproximando-se cada vez mais de 1 à medida que aumenta até 5.

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