Mostre que as seguintes funções são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente mostre que a função é invertível. Isso significa que a gente precisa provar que dá para “desfazer” a função, encontrando uma função inversa . Além disso, precisamos identificar o domínio (os valores que x pode assumir) e o contradomínio (os possíveis resultados) tanto para quanto para . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função invertível e como encontrar a inversa de uma função racional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser invertível. Uma função é invertível se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Vou mostrar que é injetora e sobrejetora.

Passo 3

Vamos verificar se é injetora. Para isso, suponha que . Então temos:
Multiplicando em cruz:
Expandindo:
Simplificando:
Isso leva a:
Como a única solução é , a função é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Para isso, precisamos mostrar que, para todo no contradomínio, existe um no domínio tal que . Então, consideramos:
Vamos resolver para :
Isso mostra que, para qualquer , existe um correspondente. Portanto, a função é sobrejetora para , o que confirma que é bijetora e, consequentemente, invertível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função inversa . Já mostramos que:
Para deixar na forma padrão, trocamos por :

Passo 6

Vamos identificar o domínio e o contradomínio de e .
Domínio de : A função não pode ter o denominador igual a zero. Então:
Portanto, o domínio de é todos os números reais menos -2:
í
Contradomínio de : Como a função é bijetora para , o contradomínio é todos os números reais menos 1:
í
Domínio de : A função inversa também não pode ter o denominador zero:
Então, o domínio de é:
í
Contradomínio de : Como é a inversa de , seu contradomínio deve ser o domínio de :
í

Resposta

A função é invertível. Sua inversa é . O domínio de é e seu contradomínio é . Já o domínio de é e seu contradomínio é .

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Mostre que a função não possui extremos.
Mostre que as seguintes funções são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de e .
Seja . Mostre que .
Esboce o gráfico de e determine caso exista, a função para