Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente mostre que a função
é invertível. Isso significa que a gente precisa provar que dá para “desfazer” a função, encontrando uma função inversa
. Além disso, precisamos identificar o domínio (os valores que x pode assumir) e o contradomínio (os possíveis resultados) tanto para
quanto para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função invertível e como encontrar a inversa de uma função racional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser invertível. Uma função é invertível se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Vou mostrar que
é injetora e sobrejetora.
Passo 3
Vamos verificar se
é injetora. Para isso, suponha que
. Então temos:
Multiplicando em cruz:
Expandindo:
Simplificando:
Isso leva a:
Como a única solução é
, a função é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Para isso, precisamos mostrar que, para todo
no contradomínio, existe um
no domínio tal que
. Então, consideramos:
Vamos resolver para
:
Isso mostra que, para qualquer
, existe um
correspondente. Portanto, a função é sobrejetora para
, o que confirma que
é bijetora e, consequentemente, invertível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função inversa
. Já mostramos que:
Para deixar na forma padrão, trocamos
por
:
Passo 6
Vamos identificar o domínio e o contradomínio de
e
.
Domínio de
: A função
não pode ter o denominador igual a zero. Então:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais menos -2:
Contradomínio de
: Como a função é bijetora para
, o contradomínio é todos os números reais menos 1:
Domínio de
: A função inversa
também não pode ter o denominador zero:
Então, o domínio de
é:
Contradomínio de
: Como
é a inversa de
, seu contradomínio deve ser o domínio de
:
Resposta
A função
é invertível. Sua inversa é
. O domínio de
é
e seu contradomínio é
. Já o domínio de
é
e seu contradomínio é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
não possui extremos.
Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.
Seja
. Mostre que
.
Esboce o gráfico de
e determine caso exista, a função
para