Esboce o gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função , que é uma função definida por partes. Isso quer dizer que o comportamento da função muda conforme o intervalo de que estivermos olhando. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar cada uma das partes da função: uma parábola, uma linha reta e uma linha horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte quando . Essa é uma função quadrática com coeficiente negativo, o que faz o gráfico ser uma parábola virada para baixo. Para esboçar essa parte:
  1. Vértice da Parábola: O vértice está no ponto mais alto. Como a função é , o vértice é em .
  2. Pontos Adicionais: Vamos calcular alguns valores:
    • Para : .
    • Para : .
    • Para : .
Com isso, plotamos os pontos , e e desenhamos a parábola que conecta esses pontos.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte quando . Essa é uma função linear, ou seja, uma reta com inclinação 1. Para desenhar essa parte:
  1. Pontos Importantes:
    • Para : (já sabemos que esse ponto está conectando com a parábola).
    • Para : .
Então, plotamos os pontos e e desenhamos uma linha reta que passa por esses pontos.

Passo 4

A última parte é quando . Essa é uma função constante, ou seja, uma linha horizontal no valor . Para essa parte:
  1. Pontos Importantes:
    • Para : (continuação perfeita da reta anterior).
    • Para : .
Então, traçamos uma linha reta horizontal que vai de até no nível de .

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as partes:
  • De a , temos a parábola virada para baixo.
  • De a , a reta sobe uniformemente.
  • De a , a linha fica constante em .
Verificamos que em e a função está conectada sem buracos ou descontinuidades, formando um gráfico contínuo.

Resposta

O gráfico da função é composto por três partes:
  1. Uma parábola virada para baixo de a , passando pelos pontos , e .
  2. Uma reta inclinada subindo de a , conectando a .
  3. Uma linha horizontal em de a .
Juntas, essas partes formam um gráfico contínuo mostrando os diferentes comportamentos da função em cada intervalo.

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Sejam e as funções definidas por:
Faça o que se pede:
Obtenha o valor de tal que .
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Encontre o domínio de .