Os gráficos das funções e são retas que se encontram no ponto . Obtenha os valores de e e, em seguida, represente no mesmo plano cartesiano as duas funções, mostrando o ponto de
encontro. Calcule a área do triângulo formado pela interseção das retas e do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar onde as duas retas e se cruzam no gráfico. Além disso, queremos desenhar essas retas no mesmo plano cartesiano, mostrar o ponto de encontro e calcular a área do triângulo formado pelas interseções delas com o eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções lineares, resolução de equações e geometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde as duas retas se encontram. Isso acontece quando . Ou seja, vamos igualar as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver para :
Com , vamos substituir na equação de para achar :
Então, o ponto de encontro é .

Passo 4

Vamos representar as duas funções no plano cartesiano. A função é uma reta com inclinação 1 e intercepta o eixo em 3. A função tem inclinação -2 e intercepta o eixo em 9. Ao desenhar essas retas, vemos que elas se cruzam no ponto , como encontramos.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar onde cada reta cruza o eixo . Isso acontece quando .
Para :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .
Para :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 6

Com os três pontos , e , vamos calcular a área do triângulo formado por eles. A base do triângulo é a distância entre e , que é:
A altura é a distância vertical do ponto até o eixo , que é 5 unidades.
A área do triângulo é dada por:

Resposta

A área do triângulo formado pelas interseções das retas e com o eixo é de 18,75 unidades quadradas.

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Determine o domínio das funções definidas por:
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A função é definida por , com . Sabendo que e que , qual o valor de ? Em seguida, esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico da função .