Esboce o gráfico da função:
(l) Para quais valores de a função é contínua ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar o gráfico de uma função que tem várias partes diferentes, dependendo do valor de . Além de desenhar, temos que descobrir para quais valores de essa função é contínua. Isso envolve entender um pouco sobre funções por partes e o que significa uma função ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas diferentes partes da função:
Cada intervalo de tem uma expressão diferente para . Vamos precisar olhar cada transição entre esses intervalos pra ver se a função é contínua nesses pontos.

Passo 3

Para uma função ser contínua num ponto , três condições precisam ser verdadeiras:
  1. A função está definida em : ou seja, existe.
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual a .
Vamos analisar cada ponto de transição: , e .

Passo 4

No ponto :
  • Valor à esquerda ( ): Usamos . Então, .
  • Valor à direita ( ): Usamos . Então, .
  • Valor da função em 0: A função não está definida exatamente em 0, pois não há um caso para .
Como os limites laterais não são iguais e a função não está definida em 0, a função não é contínua em .
No ponto :
  • Valor à esquerda ( ): Usamos . Então, .
  • Valor central em 1: .
  • Valor à direita ( ): Usamos . Então, .
Aqui, os limites laterais são iguais ( ), mas é diferente desse valor. Então, a função tem um “salto” em , logo, não é contínua em .
No ponto :
  • Valor à esquerda ( ): Usamos . Então, .
  • Valor à direita ( ): Usamos . Então, .
  • Valor da função em 2: A função não está definida exatamente em 2, já que não há um caso para .
Os limites laterais são iguais, mas a função não está definida em 2. Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua para todos os valores de no intervalo , exceto nos pontos , e . Ou seja, é contínua para todo em menos em , e .

Exercícios relacionados

Mostre que não é diferenciável em .
Mostre que o plano horizontal é o plano tangente ao paraboloide em .
Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
(b) .
Esboce o gráfico da função:
(n) Qual valor deveria ser atribuido para em para a função ser contínua em ?