Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa descobrir em quais intervalos dos números reais a função é contínua. Isso envolve entender um pouco sobre funções racionais e continuidade.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é uma função contínua? Basicamente, uma função é contínua num intervalo se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel naquele intervalo. Para funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios, a continuidade depende principalmente de onde o denominador não é zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Então, para nossa função , a gente precisa descobrir para quais valores de o denominador é igual a zero, porque nesses pontos a função não será contínua.

Passo 4

Vamos resolver a equação para achar esses valores críticos. Isso é uma equação quadrática, e podemos usar a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Calculando o discriminante:
Como é positivo, temos duas soluções reais:

Passo 6

Então, os pontos onde o denominador é zero são e . Nessas duas pontas, a função não é definida, ou seja, não é contínua.

Passo 7

Agora, vamos considerar o conjunto dos números reais e excluir esses pontos problemáticos. Isso nos dá os intervalos onde a função é contínua:
  1. De menos infinito a -2:
  2. De -2 a 5:
  3. De 5 a mais infinito:

Resposta

A função é contínua nos intervalos , e do conjunto dos números reais.

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Esboce o gráfico da função:
(l) Para quais valores de a função é contínua ?
Mostre que não é diferenciável em .
Esboce o gráfico da função:
(n) Qual valor deveria ser atribuido para em para a função ser contínua em ?
Esboce o gráfico da função:
(o) Qual valor deve assumir para remover a descontinuidade de em ?