Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa descobrir em quais intervalos dos números reais a função é contínua. Isso envolve entender um pouco sobre funções racionais e continuidade.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é uma função contínua? Basicamente, uma função é contínua num intervalo se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel naquele intervalo. Para funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios, a continuidade depende principalmente de onde o denominador não é zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Então, para nossa função , a gente precisa descobrir para quais valores de o denominador é igual a zero, porque nesses pontos a função não será contínua.
Passo 4
Vamos resolver a equação para achar esses valores críticos. Isso é uma equação quadrática, e podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Calculando o discriminante:
Como é positivo, temos duas soluções reais:
Passo 6
Então, os pontos onde o denominador é zero são e . Nessas duas pontas, a função não é definida, ou seja, não é contínua.
Passo 7
Agora, vamos considerar o conjunto dos números reais e excluir esses pontos problemáticos. Isso nos dá os intervalos onde a função é contínua:
De menos infinito a -2:
De -2 a 5:
De 5 a mais infinito:
Resposta
A função é contínua nos intervalos , e do conjunto dos números reais.