Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função que é definida por partes e descobrir onde ela é contínua. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo no gráfico. Também vamos precisar revisar o que significa uma função ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando , ou seja, quando é menor ou igual a -1 ou maior ou igual a 1. Nesses casos, a função é dada por:
Essa é uma função racional. O no denominador significa que, conforme se afasta de zero (fica maior em magnitude), diminui. Além disso, como o denominador nunca será zero nessas condições (já que ), não temos assíntotas verticais aqui.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando , ou seja, quando está entre -1 e 1. Nesse intervalo, a função é constante:
Isso significa que para qualquer entre -1 e 1, o valor de será sempre 2. O gráfico dessa parte é simplesmente uma linha reta horizontal no nível de .

Passo 4

Para desenhar o gráfico completo, precisamos combinar as duas partes:
  • Para , temos a curva , que se aproxima de zero conforme aumenta.
  • Para , temos uma linha horizontal em .
Além disso, precisamos verificar os pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e , para ver se a função é contínua nesses pontos.

Passo 5

Para verificar a continuidade em e , vamos calcular os limites da função quando nos aproximamos desses pontos por ambos os lados.
Em :
à
à
Como , a função apresenta uma descontinuidade em .
Em :
à
à
Novamente, , então a função também tem uma descontinuidade em .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos menos em e . O gráfico apresenta uma curva decrescente de para e uma linha horizontal em para , com quebras nos pontos e .

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Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.