Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função
que é definida por partes e descobrir onde ela é contínua. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo no gráfico. Também vamos precisar revisar o que significa uma função ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando
, ou seja, quando
é menor ou igual a -1 ou maior ou igual a 1. Nesses casos, a função é dada por:
Essa é uma função racional. O
no denominador significa que, conforme
se afasta de zero (fica maior em magnitude),
diminui. Além disso, como o denominador nunca será zero nessas condições (já que
), não temos assíntotas verticais aqui.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
, ou seja, quando
está entre -1 e 1. Nesse intervalo, a função é constante:
Isso significa que para qualquer
entre -1 e 1, o valor de
será sempre 2. O gráfico dessa parte é simplesmente uma linha reta horizontal no nível de
.
Passo 4
Para desenhar o gráfico completo, precisamos combinar as duas partes:
- Para
, temos a curva , que se aproxima de zero conforme aumenta. - Para
, temos uma linha horizontal em .
Além disso, precisamos verificar os pontos onde a definição da função muda, ou seja, em
e
, para ver se a função é contínua nesses pontos.
Passo 5
Para verificar a continuidade em
e
, vamos calcular os limites da função quando nos aproximamos desses pontos por ambos os lados.
Em
:
Como
, a função apresenta uma descontinuidade em
.
Em
:
Novamente,
, então a função também tem uma descontinuidade em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos menos em
e
. O gráfico apresenta uma curva decrescente de
para
e uma linha horizontal em
para
, com quebras nos pontos
e
.
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, sendo n um número arbitrário inteiro não negativo? Justifique sua resposta
Calcule a derivada segunda.
Mostre que uma função
é contínua em
se, e somente se,
.
Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.