Qual o padrão você reconhece aqui? Qual é a área entre a curva e o eixo x para , sendo n um número arbitrário inteiro não negativo? Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente reconhecer um padrão e calcular a área entre a curva e o eixo x no intervalo de até , onde é um número inteiro não negativo. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular a integral de uma função entre dois pontos e identificar o comportamento da curva nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o intervalo dado: até . Simplificando, temos:
Isso significa que estamos olhando para um intervalo de comprimento centrado em .
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual é a curva. Embora o enunciado não especifique, pela faixa de que alterna em múltiplos de , é bem provável que a curva seja a função seno ou cosseno. Vamos supor que seja a função seno, ou seja, .
Passo 4
Vamos analisar o comportamento do seno no intervalo dado. Sabemos que o seno tem período e é simétrico em torno de múltiplos de . No intervalo de a , a função seno varia de a ou de a , dependendo do valor de .
Passo 5
Para encontrar a área entre a curva e o eixo no intervalo a , vamos calcular a integral definida dessa função nesse intervalo:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Vamos simplificar os cossenos:
Sabemos que:
e
Portanto:
Mas isso não faz sentido, já que sabemos que o seno está acima ou abaixo do eixo x nesse intervalo. O cálculo correto envolve o valor absoluto da integral, pois a área é sempre positiva.
Passo 8
Vamos considerar o valor absoluto:
Sabendo que:
Então:
Á
Ainda parece que algo está faltando. Vamos reconsiderar a função.
Passo 9
Na verdade, a função que representa a curva deve ser , já que estamos calculando a área entre a curva e o eixo x, independentemente de ser positivo ou negativo.
Então, a integral fica:
Á
Passo 10
Sabemos que em cada intervalo de , a área sob o gráfico de é igual a . Isso porque a integral de de a é , e esse padrão se repete para cada múltiplo de .
Passo 11
Portanto, para qualquer inteiro não negativo, a área entre a curva e o eixo no intervalo a é sempre .
Resposta
A área entre a curva e o eixo x no intervalo a é igual a .