Qual o padrão você reconhece aqui? Qual é a área entre a curva e o eixo x para , sendo n um número arbitrário inteiro não negativo? Justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente reconhecer um padrão e calcular a área entre a curva e o eixo x no intervalo de até , onde é um número inteiro não negativo. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular a integral de uma função entre dois pontos e identificar o comportamento da curva nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o intervalo dado: até . Simplificando, temos:
Isso significa que estamos olhando para um intervalo de comprimento centrado em .

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual é a curva. Embora o enunciado não especifique, pela faixa de que alterna em múltiplos de , é bem provável que a curva seja a função seno ou cosseno. Vamos supor que seja a função seno, ou seja, .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento do seno no intervalo dado. Sabemos que o seno tem período e é simétrico em torno de múltiplos de . No intervalo de a , a função seno varia de a ou de a , dependendo do valor de .

Passo 5

Para encontrar a área entre a curva e o eixo no intervalo a , vamos calcular a integral definida dessa função nesse intervalo:
Á

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração:
Á

Passo 7

Vamos simplificar os cossenos:
Sabemos que:
e
Portanto:
Á
Mas isso não faz sentido, já que sabemos que o seno está acima ou abaixo do eixo x nesse intervalo. O cálculo correto envolve o valor absoluto da integral, pois a área é sempre positiva.

Passo 8

Vamos considerar o valor absoluto:
Á
Sabendo que:
Então:
Á
Ainda parece que algo está faltando. Vamos reconsiderar a função.

Passo 9

Na verdade, a função que representa a curva deve ser , já que estamos calculando a área entre a curva e o eixo x, independentemente de ser positivo ou negativo.
Então, a integral fica:
Á

Passo 10

Sabemos que em cada intervalo de , a área sob o gráfico de é igual a . Isso porque a integral de de a é , e esse padrão se repete para cada múltiplo de .

Passo 11

Portanto, para qualquer inteiro não negativo, a área entre a curva e o eixo no intervalo a é sempre .

Resposta

A área entre a curva e o eixo x no intervalo a é igual a .

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