Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função dada e descobrir em quais pontos ela é contínua. A matéria envolvida aqui é funções por partes e continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se conectam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função por partes:
Isso significa que para valores de x menores ou iguais a 1, f(x) é igual a , e para valores de x maiores que 1, f(x) é simplesmente 2.

Passo 3

Vamos esboçar cada parte separadamente. Para x ≤ 1, a função é , que é uma parábola conhecida. Já para x > 1, a função é uma linha horizontal no valor 2.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou interrupções no gráfico naquele ponto. Precisamos especialmente olhar para o ponto onde a função muda de expressão, que é em x = 1.

Passo 5

Calculando os limites:
  • Quando x se aproxima de 1 pela esquerda (x → 1⁻), f(x) = x², então limₓ→1⁻ f(x) = 1² = 1.
  • Quando x se aproxima de 1 pela direita (x → 1⁺), f(x) = 2, então limₓ→1⁺ f(x) = 2.
O valor de f(1) é 1, já que para x = 1, a função segue a primeira parte, .

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita em x = 1 não são iguais (1 ≠ 2), a função tem um descontinuidade nesse ponto.

Resposta

A função f(x) é contínua para todo valor de x exceto em x = 1.

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Mostre que uma função é contínua em se, e somente se, .
Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.
A função é contínua em ? Justifique.
Mostre a unicidade do limite, ou seja, mostre que se e , então .