Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função dada e descobrir em quais pontos ela é contínua. A matéria envolvida aqui é funções por partes e continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se conectam.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função por partes:
Isso significa que para valores de x menores ou iguais a 1, f(x) é igual a x², e para valores de x maiores que 1, f(x) é simplesmente 2.
Passo 3
Vamos esboçar cada parte separadamente. Para x ≤ 1, a função é x², que é uma parábola conhecida. Já para x > 1, a função é uma linha horizontal no valor 2.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou interrupções no gráfico naquele ponto. Precisamos especialmente olhar para o ponto onde a função muda de expressão, que é em x = 1.
Passo 5
Calculando os limites:
- Quando x se aproxima de 1 pela esquerda (x → 1⁻), f(x) = x², então limₓ→1⁻ f(x) = 1² = 1.
- Quando x se aproxima de 1 pela direita (x → 1⁺), f(x) = 2, então limₓ→1⁺ f(x) = 2.
O valor de f(1) é 1, já que para x = 1, a função segue a primeira parte, x².
Passo 6
Como os limites pela esquerda e pela direita em x = 1 não são iguais (1 ≠ 2), a função tem um descontinuidade nesse ponto.
Resposta
A função f(x) é contínua para todo valor de x exceto em x = 1.
Exercícios relacionados
Mostre que uma função
é contínua em
se, e somente se,
.
Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.
A função
é contínua em
? Justifique.
Mostre a unicidade do limite, ou seja, mostre que se
e
, então
.