Mostre que uma função
é contínua em
se, e somente se,
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que uma função
é contínua em um ponto
se, e somente se, o limite de
quando
tende a zero é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade de uma função em um ponto e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Em termos matemáticos:
Isso significa que, conforme
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com a expressão dada na questão, que envolve
. Note que
, ou seja,
. Quando
tende a zero,
se aproxima de
. Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Portanto, mostrar que
é equivalente a mostrar que
. Isso confirma que a continuidade da função
em
está diretamente ligada a esse limite.
Resposta
Assim, demonstramos que uma função
é contínua em
se, e somente se,
.
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