Mostre que uma função é contínua em se, e somente se, .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que uma função é contínua em um ponto se, e somente se, o limite de quando tende a zero é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade de uma função em um ponto e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual a . Em termos matemáticos:
Isso significa que, conforme se aproxima de , os valores de ficam cada vez mais próximos de .

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com a expressão dada na questão, que envolve . Note que , ou seja, . Quando tende a zero, se aproxima de . Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Portanto, mostrar que é equivalente a mostrar que . Isso confirma que a continuidade da função em está diretamente ligada a esse limite.

Resposta

Assim, demonstramos que uma função é contínua em se, e somente se, .

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