Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de gráfico de funções! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
no intervalo
. Aqui, estamos trabalhando com funções por partes e usando a função degrau de Heaviside
. Vamos precisar entender como o degrau de Heaviside atua na função e como isso afeta o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A função degrau de Heaviside
é definida da seguinte maneira:
Isso significa que
é zero para valores de
menores que
e igual a um para valores de
maiores ou iguais a
.
Passo 3
Agora, vamos ver como isso afeta a função
. Para diferentes intervalos de
, a função se comporta de forma diferente:
-
Para
: Então, a função é zero nesse intervalo. -
Para
: Aqui, a função é um polinômio de segundo grau deslocado horizontalmente.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico:
-
Intervalo
: A função é zero, então o gráfico fica no eixo até . -
Ponto de transição em
: O gráfico toca o eixonesse ponto. -
Intervalo
: A função é uma parábola com vértice em , abrindo para cima.
Passo 5
Para visualizar melhor, calculamos alguns pontos:
-
Para
: -
Para
:
Esses pontos mostram que, à medida que
aumenta além de
,
cresce quadraticamente.
Resposta
O gráfico de
no intervalo
é zero para
e, a partir de
, forma uma parábola com vértice em
, abrindo para cima. Assim, o gráfico fica no eixo
até
e, em seguida, sobe quadraticamente.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
.
Resolva a equação da onda
, sujeita às condições:
-
-
-
-
Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
a)
b)
a)
b)
Em cada caso, determine se a função
é contínua, seccionalmente contínua ou nenhuma das duas opções, no intervalo
. (Dica: faça o gráfico da função)