Esboce o gráfico da função dada no intervalo [0, ∞].
f(t) = (t - pi)² u_pi(t).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de gráfico de funções! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função no intervalo . Aqui, estamos trabalhando com funções por partes e usando a função degrau de Heaviside . Vamos precisar entender como o degrau de Heaviside atua na função e como isso afeta o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A função degrau de Heaviside é definida da seguinte maneira:
Isso significa que é zero para valores de menores que e igual a um para valores de maiores ou iguais a .

Passo 3

Agora, vamos ver como isso afeta a função . Para diferentes intervalos de , a função se comporta de forma diferente:
  • Para :
    Então, a função é zero nesse intervalo.
  • Para :
    Aqui, a função é um polinômio de segundo grau deslocado horizontalmente.

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico:
  1. Intervalo : A função é zero, então o gráfico fica no eixo até .
  2. Ponto de transição em :
    O gráfico toca o eixo nesse ponto.
  3. Intervalo : A função é uma parábola com vértice em , abrindo para cima.

Passo 5

Para visualizar melhor, calculamos alguns pontos:
  • Para :
  • Para :
Esses pontos mostram que, à medida que aumenta além de , cresce quadraticamente.

Resposta

O gráfico de no intervalo é zero para e, a partir de , forma uma parábola com vértice em , abrindo para cima. Assim, o gráfico fica no eixo até e, em seguida, sobe quadraticamente.

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