Resolva a equação da onda
, sujeita às condições:
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Com
. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para
? Justifique sua resposta; b) Determine a função
que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da onda que é
. O conteúdo principal aqui é a equação da onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis, condições de contorno e condições iniciais. A ideia é encontrar uma função
que satisfaça tanto a equação da onda quanto as condições dadas no problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos decidir qual forma vamos usar para
. Uma estratégia comum é separar a solução em duas partes: uma parte que atende às condições de contorno (chamada de solução particular,
) e outra parte que resolve a equação homogênea com condições de contorno zero (chamada de solução homogênea,
). Então, podemos escrever:
Essa forma é útil porque simplifica o problema, permitindo que tratemos das condições de contorno e das condições iniciais separadamente.
Passo 3
Agora, vamos determinar a função
que atende às condições de contorno. As condições de contorno são:
Como
precisa satisfazer essas condições para todo
, podemos assumir que
é uma função apenas de
. A forma mais simples que atende essas condições é uma função linear entre
e
. Assim, temos:
Essa função garante que em
,
, e em
,
.
Passo 4
Com
definida, precisamos encontrar a equação diferencial e as condições iniciais para a função homogênea
. Substituindo
na equação da onda original, temos:
Além disso, as condições de contorno para
ficam:
As condições iniciais também mudam:
Passo 5
Agora, vamos montar a solução final. A solução homogênea
pode ser expressa como uma série de Fourier que satisfaça as condições de contorno:
Como a condição inicial para a derivada de
é zero, todos os
serão zero. Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Calculando os coeficientes
por integração, obtemos:
Substituindo
:
Resolvendo essa integral, encontramos os valores de
.
Resposta
A solução da equação da onda é dada por:
onde os coeficientes
são calculados por:
Essa solução satisfaz tanto a equação da onda quanto as condições de contorno e iniciais fornecidas no problema.
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Resolva a equação da onda
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
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Esboce o gráfico da função dada no intervalo
.
.