Resolva a equação da onda partial^2 uc^2 partial t^2-partial^2 upartial x^2=0, sujeita às condições:
  1. u(0, t)=ua
  2. u(L, t)=ub
  3. u(x, 0)=0 ; x in(0, L)
  4. d u(x, 0)d t=0 ; x in(0, L)
    Com ua, ub in R. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) ? Justifique sua resposta; b) Determine a função uc(x) que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da onda que é partial^2 uc^2 partial t^2 - partial^2 upartial x^2 = 0. O conteúdo principal aqui é a equação da onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis, condições de contorno e condições iniciais. A ideia é encontrar uma função u(x, t) que satisfaça tanto a equação da onda quanto as condições dadas no problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos decidir qual forma vamos usar para u(x, t). Uma estratégia comum é separar a solução em duas partes: uma parte que atende às condições de contorno (chamada de solução particular, uc(x)) e outra parte que resolve a equação homogênea com condições de contorno zero (chamada de solução homogênea, uh(x, t)). Então, podemos escrever:
u(x, t) = uc(x) + uh(x, t)
Essa forma é útil porque simplifica o problema, permitindo que tratemos das condições de contorno e das condições iniciais separadamente.

Passo 3

Agora, vamos determinar a função uc(x) que atende às condições de contorno. As condições de contorno são:
  1. u(0, t) = ua
  2. u(L, t) = ub
Como uc(x) precisa satisfazer essas condições para todo t, podemos assumir que uc(x) é uma função apenas de x. A forma mais simples que atende essas condições é uma função linear entre 0 e L. Assim, temos:
uc(x) = ua + ub - uaLx
Essa função garante que em x = 0, uc(0) = ua, e em x = L, uc(L) = ub.

Passo 4

Com uc(x) definida, precisamos encontrar a equação diferencial e as condições iniciais para a função homogênea uh(x, t). Substituindo u(x, t) = uc(x) + uh(x, t) na equação da onda original, temos:
partial^2 uhc^2 partial t^2 - partial^2 uhpartial x^2 = 0
Além disso, as condições de contorno para uh(x, t) ficam:
  1. uh(0, t) = 0
  2. uh(L, t) = 0
As condições iniciais também mudam:
  1. u(x, 0) = 0 Rightarrow uc(x) + uh(x, 0) = 0 Rightarrow uh(x, 0) = -uc(x)
  2. partial upartial t(x, 0) = 0 Rightarrow partial uhpartial t(x, 0) = 0

Passo 5

Agora, vamos montar a solução final. A solução homogênea uh(x, t) pode ser expressa como uma série de Fourier que satisfaça as condições de contorno:
uh(x, t) = sumn=1^infty ( An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL) ) sin(npi xL)
Como a condição inicial para a derivada de uh é zero, todos os Bn serão zero. Para encontrar os coeficientes An, usamos a condição inicial uh(x, 0) = -uc(x):
-uc(x) = sumn=1^infty An sin(npi xL)
Calculando os coeficientes An por integração, obtemos:
An = 2L integral0^L -uc(x) sin(npi xL) dx
Substituindo uc(x):
An = 2L integral0^L (-ua - ub - uaLx) sin(npi xL) dx
Resolvendo essa integral, encontramos os valores de An.

Resposta

A solução da equação da onda é dada por:
u(x, t) = ua + ub - uaLx + sumn=1^infty [ An cos(npi c tL) ] sin(npi xL)
onde os coeficientes An são calculados por:
An = 2L integral0^L (-ua - ub - uaLx) sin(npi xL) dx
Essa solução satisfaz tanto a equação da onda quanto as condições de contorno e iniciais fornecidas no problema.

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