Resolva a equação da onda , sujeita às condições:

  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da onda que é . O conteúdo principal aqui é a equação da onda, que descreve como ondas se propagam em um meio. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis, condições de contorno e condições iniciais. A ideia é encontrar uma função que satisfaça tanto a equação da onda quanto as condições dadas no problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos decidir qual forma vamos usar para . Uma estratégia comum é separar a solução em duas partes: uma parte que atende às condições de contorno (chamada de solução particular, ) e outra parte que resolve a equação homogênea com condições de contorno zero (chamada de solução homogênea, ). Então, podemos escrever:
Essa forma é útil porque simplifica o problema, permitindo que tratemos das condições de contorno e das condições iniciais separadamente.

Passo 3

Agora, vamos determinar a função que atende às condições de contorno. As condições de contorno são:
Como precisa satisfazer essas condições para todo , podemos assumir que é uma função apenas de . A forma mais simples que atende essas condições é uma função linear entre e . Assim, temos:
Essa função garante que em , , e em , .

Passo 4

Com definida, precisamos encontrar a equação diferencial e as condições iniciais para a função homogênea . Substituindo na equação da onda original, temos:
Além disso, as condições de contorno para ficam:
As condições iniciais também mudam:

Passo 5

Agora, vamos montar a solução final. A solução homogênea pode ser expressa como uma série de Fourier que satisfaça as condições de contorno:
Como a condição inicial para a derivada de é zero, todos os serão zero. Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial :
Calculando os coeficientes por integração, obtemos:
Substituindo :
Resolvendo essa integral, encontramos os valores de .

Resposta

A solução da equação da onda é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:
Essa solução satisfaz tanto a equação da onda quanto as condições de contorno e iniciais fornecidas no problema.

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Resolva a equação da onda , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x,t)? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
.
Esboce o gráfico da função dada no intervalo .
.