Seja f: X -> Y uma função e sejam U e V subconjuntos de Y. Prove que f^(-1)(U intersecao V) = f^(-1)(U) intersecao f^(-1)(V).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e dois subconjuntos e de . O objetivo é provar que a pré-imagem da interseção de e é igual à interseção das pré-imagens de e , ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e operações com conjuntos, como interseção e pré-imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a pré-imagem de um conjunto. Para uma função e um subconjunto de , a pré-imagem é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento em :
Isso significa que estamos olhando para quais elementos de acabam caindo dentro de quando aplicamos a função .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que significa . A interseção contém todos os elementos que estão tanto em quanto em . Então, a pré-imagem dessa interseção é:
Ou seja, estamos pegando todos os em que, quando passados pela função , ficam dentro de ambos e .

Passo 4

Agora, vamos ver o que é . Primeiro, encontramos as pré-imagens individualmente:
A interseção desses dois conjuntos, , será o conjunto de todos os que estão em ambos e , ou seja, que satisfazem:
O que significa que:

Passo 5

Agora, vamos comparar e :
  • Em , temos todos os que fazem estar em , ou seja, estar em ambos e ao mesmo tempo.
  • Em , também temos todos os que fazem estar em e em .
Percebemos que esses dois conjuntos são iguais porque ambas as descrições se referem a elementos que, através de , caem em e em .

Resposta

Portanto, provamos que:

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