Seja
uma função e sejam
e
subconjuntos de
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e dois subconjuntos
e
de
. O objetivo é provar que a pré-imagem da interseção de
e
é igual à interseção das pré-imagens de
e
, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e operações com conjuntos, como interseção e pré-imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a pré-imagem de um conjunto. Para uma função
e um subconjunto
de
, a pré-imagem
é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento em
:
Isso significa que estamos olhando para quais elementos de
acabam caindo dentro de
quando aplicamos a função
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa
. A interseção
contém todos os elementos que estão tanto em
quanto em
. Então, a pré-imagem dessa interseção é:
Ou seja, estamos pegando todos os
em
que, quando passados pela função
, ficam dentro de ambos
e
.
Passo 4
Agora, vamos ver o que é
. Primeiro, encontramos as pré-imagens individualmente:
A interseção desses dois conjuntos,
, será o conjunto de todos os
que estão em ambos
e
, ou seja, que satisfazem:
O que significa que:
Passo 5
Agora, vamos comparar
e
:
- Em
, temos todos os que fazem estar em , ou seja, estar em ambos e ao mesmo tempo. - Em
, também temos todos os que fazem estar em e em .
Percebemos que esses dois conjuntos são iguais porque ambas as descrições se referem a elementos
que, através de
, caem em
e em
.
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Suponha que
é verdade. Prove que
é verdade.
Esboce o gráfico da função
dada por