Esboce o gráfico da função definida por
, para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo: esboçar o gráfico da função
para todo
. Vamos trabalhar com funções logarítmicas e a transformação do valor absoluto. Para resolver isso, precisamos entender como é o gráfico de
e como o valor absoluto afeta esse gráfico.
Passo 2
Vamos começar lembrando como é o gráfico de
. Essa é uma função logarítmica na base 3, que tem algumas características importantes:
- O domínio é
. - Quando
, . - À medida que
aumenta acima de 1, aumenta de forma contínua. - À medida que
se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o valor absoluto na função
. O valor absoluto de uma função transforma todos os valores negativos em positivos, mantendo os valores positivos inalterados. Então,
terá as seguintes mudanças:
- Para
, é positivo, então (o gráfico permanece o mesmo nessa região). - Para
, é negativo, então , que é uma reflexão do gráfico original acima do eixo .
Passo 4
Vamos identificar alguns pontos-chave para desenhar o gráfico:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Passo 5
Com esses pontos e as características identificadas, podemos esboçar o gráfico:
- Para
, o gráfico de sobe lentamente à medida que aumenta. - Para
, o gráfico de sobe de forma simétrica em relação a , refletindo a parte negativa do logaritmo original para se tornar positiva.
Resposta
O gráfico de
para
é uma função em forma de “V”, onde o vértice está no ponto
. Para
, o gráfico sobe suavemente para a direita, e para
, sobe simetricamente para a esquerda, refletindo a parte negativa do logaritmo original.