Esboce o gráfico da função definida por f(x) = |log_3(x)|, para todo x > 0.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo: esboçar o gráfico da função para todo . Vamos trabalhar com funções logarítmicas e a transformação do valor absoluto. Para resolver isso, precisamos entender como é o gráfico de e como o valor absoluto afeta esse gráfico.

Passo 2

Vamos começar lembrando como é o gráfico de . Essa é uma função logarítmica na base 3, que tem algumas características importantes:
  • O domínio é .
  • Quando , .
  • À medida que aumenta acima de 1, aumenta de forma contínua.
  • À medida que se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o valor absoluto na função . O valor absoluto de uma função transforma todos os valores negativos em positivos, mantendo os valores positivos inalterados. Então, terá as seguintes mudanças:
  • Para , é positivo, então (o gráfico permanece o mesmo nessa região).
  • Para , é negativo, então , que é uma reflexão do gráfico original acima do eixo .

Passo 4

Vamos identificar alguns pontos-chave para desenhar o gráfico:
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .
  • : .

Passo 5

Com esses pontos e as características identificadas, podemos esboçar o gráfico:
  • Para , o gráfico de sobe lentamente à medida que aumenta.
  • Para , o gráfico de sobe de forma simétrica em relação a , refletindo a parte negativa do logaritmo original para se tornar positiva.

Resposta

O gráfico de para é uma função em forma de “V”, onde o vértice está no ponto . Para , o gráfico sobe suavemente para a direita, e para , sobe simetricamente para a esquerda, refletindo a parte negativa do logaritmo original.

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