Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma função definida por partes:
E o valor de é . Precisamos esboçar o gráfico dessa função e determinar os limites quando se aproxima de por valores menores que (), por valores maiores que (), e o limite geral quando se aproxima de .
Para resolver isso, vamos seguir passos claros:
Passo 2
Esboçando o gráfico da função:
Vamos analisar cada parte da função separadamente.
Para :
Essa é uma função racional. Precisamos identificar possíveis assíntotas e o comportamento da função.
Para :
Essa é uma função raiz quadrada. Devemos considerar o domínio dessa função para garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa.
Passo 3
Analisando para :
Dominio: → . Como , essa condição está sempre satisfeita.
Assíntote vertical: Quando → . Porém, como estamos considerando , essa assíntote não interfere nesse intervalo.
Comportamento: Conforme se aproxima de , tende a zero.
Passo 4
Analisando para :
Dominio: → .
No entanto, a função está definida para , mas a raiz quadrada exige . Portanto, o verdadeiro domínio dessa parte da função é .
Comportamento: A função é crescente e sempre não negativa.
Passo 5
Esboçando o gráfico:
Para :
A função é uma hipérbole.
Conforme se aproxima de pela esquerda, o valor de tende a:
Para :
A função começa em com e aumenta conforme aumenta.
Entre e :
A função não está definida, já que , mas conforme a definição da função, para , não há valores definidos.
Passo 6
Determinação dos limites:
Agora, vamos calcular os limites solicitados para :
(a)
Isso significa que se aproxima de pela esquerda, ou seja, valores menores que .
Usando a função :
(b)
Aqui, se aproxima de pela direita, ou seja, valores maiores que .
Usando a função :
Como a raiz quadrada de um número negativo não é real, esse limite não existe.