Esboce o gráfico da função
definida por partes e, para o valor
indicado, determine cada limite, se existir.
(a)
(b)
©
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma função definida por partes:
E o valor de
é
. Precisamos esboçar o gráfico dessa função e determinar os limites quando
se aproxima de
por valores menores que
(
), por valores maiores que
(
), e o limite geral quando
se aproxima de
.
Para resolver isso, vamos seguir passos claros:
Passo 2
Esboçando o gráfico da função:
Vamos analisar cada parte da função separadamente.
-
Para
: Essa é uma função racional. Precisamos identificar possíveis assíntotas e o comportamento da função. -
Para
: Essa é uma função raiz quadrada. Devemos considerar o domínio dessa função para garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa.
Passo 3
Analisando
para
:
- Dominio:
→ . Como , essa condição está sempre satisfeita. - Assíntote vertical: Quando
→ . Porém, como estamos considerando , essa assíntote não interfere nesse intervalo. - Comportamento: Conforme
se aproxima de , tende a zero.
Passo 4
Analisando
para
:
-
Dominio:
→ . No entanto, a função está definida para, mas a raiz quadrada exige . Portanto, o verdadeiro domínio dessa parte da função é . -
Comportamento: A função
é crescente e sempre não negativa.
Passo 5
Esboçando o gráfico:
-
Para
: - A função
é uma hipérbole. - Conforme
se aproxima de pela esquerda, o valor de tende a:
- A função
-
Para
: - A função
começa em com e aumenta conforme aumenta.
- A função
-
Entre
e : - A função
não está definida, já que , mas conforme a definição da função, para , não há valores definidos.
- A função
Passo 6
Determinação dos limites:
Agora, vamos calcular os limites solicitados para
:
(a)
Isso significa que
se aproxima de
pela esquerda, ou seja, valores menores que
.
Usando a função
:
(b)
Aqui,
se aproxima de
pela direita, ou seja, valores maiores que
.
Usando a função
:
Como a raiz quadrada de um número negativo não é real, esse limite não existe.
©
Para que esse limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e finitos.
Já vimos que:
Portanto, o limite geral também não existe.
Resposta
(a)
(b)
não existe.
©
não existe.