Esboce o gráfico da função definida por partes e, para o valor indicado, determine cada limite, se existir.
(a) (b) ©

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma função definida por partes:
E o valor de é . Precisamos esboçar o gráfico dessa função e determinar os limites quando se aproxima de por valores menores que ( ), por valores maiores que ( ), e o limite geral quando se aproxima de .
Para resolver isso, vamos seguir passos claros:

Passo 2

Esboçando o gráfico da função:
Vamos analisar cada parte da função separadamente.
  1. Para :
    Essa é uma função racional. Precisamos identificar possíveis assíntotas e o comportamento da função.
  2. Para :
    Essa é uma função raiz quadrada. Devemos considerar o domínio dessa função para garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa.

Passo 3

Analisando para :
  • Dominio: . Como , essa condição está sempre satisfeita.
  • Assíntote vertical: Quando . Porém, como estamos considerando , essa assíntote não interfere nesse intervalo.
  • Comportamento: Conforme se aproxima de , tende a zero.

Passo 4

Analisando para :
  • Dominio: .
    No entanto, a função está definida para , mas a raiz quadrada exige . Portanto, o verdadeiro domínio dessa parte da função é .
  • Comportamento: A função é crescente e sempre não negativa.

Passo 5

Esboçando o gráfico:
  1. Para :
    • A função é uma hipérbole.
    • Conforme se aproxima de pela esquerda, o valor de tende a:
  2. Para :
    • A função começa em com e aumenta conforme aumenta.
  3. Entre e :
    • A função não está definida, já que , mas conforme a definição da função, para , não há valores definidos.

Passo 6

Determinação dos limites:
Agora, vamos calcular os limites solicitados para :
(a)
Isso significa que se aproxima de pela esquerda, ou seja, valores menores que .
Usando a função :
(b)
Aqui, se aproxima de pela direita, ou seja, valores maiores que .
Usando a função :
Como a raiz quadrada de um número negativo não é real, esse limite não existe.
©
Para que esse limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e finitos.
Já vimos que:
ã
Portanto, o limite geral também não existe.

Resposta

(a)
(b) não existe.
© não existe.

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Ache cada limite, se existir.
Ache cada limite, se existir.
Esboce o gráfico da função definida por partes e, para o valor indicado, determine cada limite, se existir.
(a) (b) ©
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(a) (b) ©