Esboce o gráfico da função f definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir.
(a) lim x a^- f(x) (b) lim x a^+ f(x) © lim x a f(x)
31 f(x)=lllx^2 & se & x<1 2 & se & x=1 4-x^2 & se & x>1 a=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função definida por partes e calcular alguns limites quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de funções por partes e limites para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de três maneiras diferentes:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
Isso significa que o comportamento da função muda dependendo de onde está em relação a 1.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico para visualizar melhor.
  • Para , a função é , que é uma parábola que abre para cima.
  • No ponto , a função tem o valor fixo de 2, então marcamos um ponto nesse lugar.
  • Para , a função é , que é uma parábola que abre para baixo.
Isso vai ajudar a ver como a função se comporta perto de .

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites. Primeiro, o limite à esquerda de 1, ou seja, quando limx to 1^- f(x) = limx to 1^- x^2 = 1^2 = 1 se aproxima de 1 vindo da esquerda ( ).
Para , usamos . Então:

Passo 5

Em seguida, o limite à direita de 1, quando limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (4 - x^2) = 4 - 1^2 = 3 se aproxima de 1 vindo da direita ( ).
Para , usamos . Então:

Passo 6

Por último, vamos ver o limite geral quando limx to 1^- f(x) = 1 e limx to 1^+ f(x) = 3 se aproxima de 1 ( ).
Para que esse limite exista, os limites à esquerda e à direita precisam ser iguais. Mas vimos que:
Como 1 ≠ 3, o limite geral não existe.

Resposta

(a)
(b)
© não existe.

Exercícios relacionados