Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função definida por partes e calcular alguns limites quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de funções por partes e limites para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de três maneiras diferentes:
Para ,
Para ,
Para ,
Isso significa que o comportamento da função muda dependendo de onde está em relação a 1.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico para visualizar melhor.
Para , a função é , que é uma parábola que abre para cima.
No ponto , a função tem o valor fixo de 2, então marcamos um ponto nesse lugar.
Para , a função é , que é uma parábola que abre para baixo.
Isso vai ajudar a ver como a função se comporta perto de .
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites. Primeiro, o limite à esquerda de 1, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo da esquerda ().
Para , usamos . Então:
Passo 5
Em seguida, o limite à direita de 1, quando se aproxima de 1 vindo da direita ().
Para , usamos . Então:
Passo 6
Por último, vamos ver o limite geral quando se aproxima de 1 ().
Para que esse limite exista, os limites à esquerda e à direita precisam ser iguais. Mas vimos que: