Esboce o gráfico da função f definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir.
(a) lim x a^- f(x) (b) lim x a^+ f(x) © lim x a f(x)
32 f(x)=lllx^4+xx & se & x neq 0 2 & se & x=0 a=0

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico de uma função definida por partes e, para o valor , determinar os limites à esquerda ( ), à direita ( ) e o limite geral ( ). Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de e aplicar conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x) = x^4 + xx para valores de f(x) = x^4x + xx = x^3 + 1 :
f(x) = x^3 + 1
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo no numerador por :
Então, para , a função simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite à esquerda de limx 0^- (x^3 + 1) = (limx 0^- x^3) + (limx 0^- 1) = 0 + 1 = 1 , ou seja, limx 0^- f(x) = 1 . Isso significa que estamos observando o comportamento da função quando se aproxima de 0 vindo dos valores negativos.
Usando a forma simplificada da função:
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite à direita de limx 0^+ (x^3 + 1) = (limx 0^+ x^3) + (limx 0^+ 1) = 0 + 1 = 1 , ou seja, limx 0^+ f(x) = 1 . Isso significa que estamos observando o comportamento da função quando se aproxima de 0 vindo dos valores positivos.
Usando a forma simplificada da função:
Então:

Passo 5

Agora que temos os limites à esquerda e à direita, podemos determinar o limite geral da função em limx 0^- f(x) = 1 e limx 0^+ f(x) = 1 . Se ambos os limites laterais existirem e forem iguais, então o limite geral também existe e é igual a esse valor.
Neste caso:
Como ambos os limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 1.

Resposta

(a)
(b)
©

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