Esboce o gráfico da função
definida por partes e, para o valor
indicado, determine cada limite, se existir.
(a)
(b)
©
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
que é definida por partes e, para o ponto
, descobrir os limites à esquerda, à direita e o limite geral. Vamos usar conceitos de funções definidas por partes e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Isso significa que para valores de
menores ou iguais a 2, a função é uma reta
, e para valores maiores que 2, é uma parábola
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico:
- Para
, . Isso é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 3. - Para
, . Isso é uma parábola que abre para cima.
No ponto
:
- A função pela esquerda (
) tem valor . - A função pela direita (
) tem valor limites aproximando-se de quando chega perto de 2.
Passo 4
Vamos calcular os limites:
(a) Limite à esquerda (
):
Isso porque estamos usando a parte da função
para
.
(b) Limite à direita (
):
Aqui, usamos
porque
.
© Limite geral (
):
Para que o limite geral exista, os limites à esquerda e à direita devem ser iguais. Mas vimos que:
Para que o limite geral exista, os limites à esquerda e à direita devem ser iguais. Mas vimos que:
Como 6 ≠ 4, o limite geral não existe.
Resposta
(a)
(b)
©
não existe.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função
definida por partes e, para o valor
indicado, determine cada limite, se existir.
(a) (b)
©
(a)
Ache cada limite, se existir.
Esboce o gráfico da função
definida por partes e, para o valor
indicado, determine cada limite, se existir.
(a) (b)
©
(a)
Use a Definição (2.4) para provar que