Esboce o gráfico da função f definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir.
(a) lim x a^- f(x) (b) lim x a^+ f(x) © lim x a f(x)
27 f(x)=ll3 x & se x <= 2 x^2 & se x>2 a=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função que é definida por partes e, para o ponto , descobrir os limites à esquerda, à direita e o limite geral. Vamos usar conceitos de funções definidas por partes e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x) = 3x & se x <= 2 x^2 & se x > 2 está definida:
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 2, a função é uma reta , e para valores maiores que 2, é uma parábola .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  1. Para , . Isso é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 3.
  2. Para , . Isso é uma parábola que abre para cima.
No ponto :
  • A função pela esquerda ( ) tem valor .
  • A função pela direita ( ) tem valor limites aproximando-se de quando chega perto de 2.

Passo 4

Vamos calcular os limites:
(a) Limite à esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- 3x = 3(2) = 6 ):
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ x^2 = (2)^2 = 4
Isso porque estamos usando a parte da função limx to 2^- f(x) = 6 e limx to 2^+ f(x) = 4 para .
(b) Limite à direita ( ):
Aqui, usamos porque .
© Limite geral ( ):
Para que o limite geral exista, os limites à esquerda e à direita devem ser iguais. Mas vimos que:
Como 6 ≠ 4, o limite geral não existe.

Resposta

(a)
(b)
© não existe.

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