Use a Definição (2.4) para provar que
Passo 1
Então, a gente tem que provar que o limite de
quando
se aproxima de 6 é igual a 9. Vamos usar a Definição 2.4, que na real é a famosa definição
-
de limite. Basicamente, precisamos mostrar que para qualquer número pequeno
, a gente consegue encontrar um
tal que se
está dentro de
de 6, então
tá dentro de
de 9. Para isso, vamos precisar manipular as inequações e encontrar uma relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que a gente quer provar usando a definição. Queremos que:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Agora, vamos fatorar o 5:
Isso nos dá:
Então, se a gente escolher:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa escolha de
funciona. A definição diz que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Substituindo
por
:
Se , então:
Se
Isso mostra que nossa escolha de
atende à condição necessária.
Resposta
Portanto, usando a Definição 2.4, mostramos que
.