Verifique se a função é contínua em . (Valor 3,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. Temos uma função definida por partes:
O objetivo aqui é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função quando . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que 2. Nesse caso, usamos novamente a primeira parte da função:
Portanto, o limite pela esquerda é 4.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores maiores que 2. Aqui, usamos a segunda parte da função:
Então, o limite pela direita é -2.

Passo 5

Para a função ser contínua no ponto , três coisas precisam acontecer:
  1. A função está definida em (o que está, já que ).
  2. O limite pela esquerda é igual ao limite pela direita.
  3. Ambos os limites são iguais ao valor da função em .
Vamos verificar:
Aqui, vemos que o limite pela esquerda é igual ao valor da função, mas o limite pela direita é diferente.

Resposta

A função não é contínua em porque os limites laterais não são iguais.

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