Esboce o gráfico da função f definida por f(x)= x^2, & se x<1 2 x, & se x>1
ache lim x 1^- f(x), lim x 1^+ f(x) lim x 1 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Também precisamos calcular os limites dessa função quando se aproxima de 1 por valores menores e maiores, e ver se o limite geral existe. Vamos usar conceitos de funções definidas por partes e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x) = x^2, & se x < 1 2x, & se x > 1 está definida:
Isso significa que para valores de menores que 1, usamos , e para valores maiores que 1, usamos . Notamos que a função não está definida exatamente em , então vamos analisar os limites próximos a esse ponto.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico da função.
  • Para : A função é . Isso é uma parábola que se abre para cima.
  • Para : A função é . Isso é uma reta com inclinação 2.
Vamos plotar essas duas partes no mesmo gráfico, lembrando de deixar uma pequena separação em já que a função não está definida exatamente nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites.
  • Limite pela esquerda ( limx 1^- f(x) = limx 1^- x^2 = (1)^2 = 1 ):
limx 1^+ f(x) = limx 1^+ 2x = 2 times 1 = 2
Explicando: substituímos por 1 na expressão porque estamos vindo da esquerda.
  • Limite pela direita ( ):
Aqui, substituímos por 1 na expressão porque estamos vindo da direita.

Passo 5

Finalmente, vamos verificar o limite geral em limx 1^- f(x) = 1 e limx 1^+ f(x) = 2 .
Para que o limite geral exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Mas vimos que:
Como 1 não é igual a 2, o limite geral não existe.

Resposta

O limite quando limx 1^- f(x) = 1, limx 1^+ f(x) = 2, limx 1 f(x) não existe se aproxima de 1 pela esquerda é 1, o limite pela direita é 2, e o limite geral quando se aproxima de 1 não existe.
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