Esboce o gráfico da função
definida por
ache
ache
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que muda de expressão dependendo do valor de
. Também precisamos calcular os limites dessa função quando
se aproxima de 1 por valores menores e maiores, e ver se o limite geral existe. Vamos usar conceitos de funções definidas por partes e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Isso significa que para valores de
menores que 1, usamos
, e para valores maiores que 1, usamos
. Notamos que a função não está definida exatamente em
, então vamos analisar os limites próximos a esse ponto.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico da função.
-
Para
: A função é . Isso é uma parábola que se abre para cima. -
Para
: A função é . Isso é uma reta com inclinação 2.
Vamos plotar essas duas partes no mesmo gráfico, lembrando de deixar uma pequena separação em
já que a função não está definida exatamente nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites.
- Limite pela esquerda (
):
Explicando: substituímos
por 1 na expressão
porque estamos vindo da esquerda.
- Limite pela direita (
):
Aqui, substituímos
por 1 na expressão
porque estamos vindo da direita.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar o limite geral em
.
Para que o limite geral
exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Mas vimos que:
Como 1 não é igual a 2, o limite geral não existe.
Resposta
O limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda é 1, o limite pela direita é 2, e o limite geral quando
se aproxima de 1 não existe.
Exercícios relacionados
A função f definida por
é contínua em
? Prove (use a definição de função contínua).
Prove que existe
uma função sobrejetora tal que
é infinito, para cada
.
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22. -
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Calcule