Esboce o gráfico da função definida por
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Também precisamos calcular os limites dessa função quando se aproxima de 1 por valores menores e maiores, e ver se o limite geral existe. Vamos usar conceitos de funções definidas por partes e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que para valores de menores que 1, usamos , e para valores maiores que 1, usamos . Notamos que a função não está definida exatamente em , então vamos analisar os limites próximos a esse ponto.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico da função.
  • Para : A função é . Isso é uma parábola que se abre para cima.
  • Para : A função é . Isso é uma reta com inclinação 2.
Vamos plotar essas duas partes no mesmo gráfico, lembrando de deixar uma pequena separação em já que a função não está definida exatamente nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites.
  • Limite pela esquerda ( ):
Explicando: substituímos por 1 na expressão porque estamos vindo da esquerda.
  • Limite pela direita ( ):
Aqui, substituímos por 1 na expressão porque estamos vindo da direita.

Passo 5

Finalmente, vamos verificar o limite geral em .
Para que o limite geral exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Mas vimos que:
Como 1 não é igual a 2, o limite geral não existe.

Resposta

O limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é 1, o limite pela direita é 2, e o limite geral quando se aproxima de 1 não existe.
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