A função f definida por é contínua em ? Prove (use a definição de função contínua).

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se a função definida por
é contínua em . Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade de funções, que é a ideia de que uma função não tem “saltos” ou “interrupções” em um determinado ponto. Precisamos verificar se a função satisfaz a definição de continuidade em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto. Dizemos que uma função é contínua em se as seguintes três condições forem verdadeiras:
  1. está definida: Ou seja, a função existe no ponto .
  2. Existe o limite de quando se aproxima de : Precisamos calcular .
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto: .
Vamos aplicar essas condições para .

Passo 3

1. Verificar se está definida:
Observando a definição da função, para , . Portanto,
Assim, está definida.

Passo 4

2. Calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Como a função é definida de forma diferente para e , devemos calcular os limites laterais.
  • Limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Como ambos os limites laterais são iguais e existem,

Passo 5

3. Verificar se o limite é igual ao valor da função em :
Já vimos que:
Portanto,

Resposta

Sim, a função é contínua em porque o limite de quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função nesse ponto.

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Prove que existe uma função sobrejetora tal que é infinito, para cada .
Sejam um conjunto finito e um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .
Esboce o gráfico da função definida por
ache
  1. 22.