A função f definida por
é contínua em
? Prove (use a definição de função contínua).
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta se a função
definida por
é contínua em
. Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade de funções, que é a ideia de que uma função não tem “saltos” ou “interrupções” em um determinado ponto. Precisamos verificar se a função satisfaz a definição de continuidade em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto. Dizemos que uma função
é contínua em
se as seguintes três condições forem verdadeiras:
-
está definida: Ou seja, a função existe no ponto . - Existe o limite de
quando se aproxima de : Precisamos calcular . - O limite é igual ao valor da função no ponto:
.
Vamos aplicar essas condições para
.
Passo 3
1. Verificar se
está definida:
Observando a definição da função, para
,
. Portanto,
Assim,
está definida.
Passo 4
2. Calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Como a função
é definida de forma diferente para
e
, devemos calcular os limites laterais.
- Limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
- Limite quando
se aproxima de 1 pela direita ( ):
Como ambos os limites laterais são iguais e existem,
Passo 5
3. Verificar se o limite é igual ao valor da função em
:
Já vimos que:
Portanto,
Resposta
Sim, a função
é contínua em
porque o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual ao valor da função nesse ponto.
Exercícios relacionados
Prove que existe
uma função sobrejetora tal que
é infinito, para cada
.
Sejam
um conjunto finito e
um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .
Existe uma função sobrejetora
Esboce o gráfico da função
definida por
ache
ache
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22. -
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