Prove que existe uma função sobrejetora tal que é infinito, para cada .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar a existência de uma função que satisfaça duas condições importantes:
  1. Sobrejetora: Isso significa que, para todo número natural , existe pelo menos um número natural tal que . Ou seja, a função cobre todos os números naturais no seu conjunto de chegada.
  2. Pré-imagem infinita: Para cada , o conjunto é infinito. Isso quer dizer que existem infinitos números naturais que, ao serem aplicados na função , resultam em .
Vamos construir uma função que atenda a essas duas condições.

Passo 2

Para que a função seja sobrejetora, precisamos garantir que todo número natural seja atingido por pelo menos um . Além disso, para que cada seja infinito, cada deve ser alcançado por infinitos valores de .
Uma maneira de fazer isso é associar cada a uma sequência infinita de números naturais que mapeiam para ele. Vamos construir essa função passo a passo.

Passo 3

Vamos definir a função de forma que:
Onde representa a função piso (o maior inteiro menor ou igual ao número) e é uma constante positiva que determinaremos.
No entanto, essa definição sozinha não garante que cada seja mapeado por infinitos . Precisamos ajustar nossa abordagem para assegurar a sobrejetividade e a infinitude das pré-imagens.

Passo 4

Uma abordagem eficaz é dividir os números naturais em infinitas sequências, cada uma associada a um número . Para isso, podemos utilizar a representação dos números naturais como pares ordenados.
Considere que todo número natural pode ser representado de forma única como um par ordenado , onde . Isso é possível através de uma bijeção entre e .

Passo 5

Definimos a função da seguinte maneira:
Aqui, é fixo para cada sequência, e varia em . Assim, para cada , temos infinitos valores de que mapeiam para , garantindo que seja infinito.

Passo 6

No entanto, precisamos que a função seja definida de para , e não de para . Para isso, utilizamos uma bijeção explícita entre e .
Uma forma comum de fazer isso é pela função de Cantor:
Essa função associa cada par ordenado a um número natural único, garantindo que cada corresponda a um único par .

Passo 7

Então, podemos definir nossa função composta pela função de Cantor e pela projeção no primeiro elemento do par ordenado:
Isso significa que, para cada , existem infinitos tais que , já que pode ser qualquer número natural.

Passo 8

Dessa forma, a função é sobrejetora porque para todo , existe pelo menos um (na verdade, infinitos) tal que . Além disso, para cada , o conjunto é infinito, pois existem infinitos que satisfazem .

Resposta

Portanto, foi construída uma função que é sobrejetora e para a qual cada pré-imagem é infinita. Isso prova que tal função existe conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Sejam um conjunto finito e um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .
Sejam um conjunto finito e um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função injetora .
A função f definida por é contínua em ? Prove (use a definição de função contínua).
Esboce o gráfico da função definida por
ache