Prove que existe
uma função sobrejetora tal que
é infinito, para cada
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar a existência de uma função
que satisfaça duas condições importantes:
-
Sobrejetora: Isso significa que, para todo número natural
, existe pelo menos um número natural tal que . Ou seja, a função cobre todos os números naturais no seu conjunto de chegada. -
Pré-imagem infinita: Para cada
, o conjunto é infinito. Isso quer dizer que existem infinitos números naturais que, ao serem aplicados na função , resultam em .
Vamos construir uma função que atenda a essas duas condições.
Passo 2
Para que a função
seja sobrejetora, precisamos garantir que todo número natural
seja atingido por pelo menos um
. Além disso, para que cada
seja infinito, cada
deve ser alcançado por infinitos valores de
.
Uma maneira de fazer isso é associar cada
a uma sequência infinita de números naturais que mapeiam para ele. Vamos construir essa função passo a passo.
Passo 3
Vamos definir a função
de forma que:
Onde
representa a função piso (o maior inteiro menor ou igual ao número) e
é uma constante positiva que determinaremos.
No entanto, essa definição sozinha não garante que cada
seja mapeado por infinitos
. Precisamos ajustar nossa abordagem para assegurar a sobrejetividade e a infinitude das pré-imagens.
Passo 4
Uma abordagem eficaz é dividir os números naturais em infinitas sequências, cada uma associada a um número
. Para isso, podemos utilizar a representação dos números naturais como pares ordenados.
Considere que todo número natural
pode ser representado de forma única como um par ordenado
, onde
. Isso é possível através de uma bijeção entre
e
.
Passo 5
Definimos a função
da seguinte maneira:
Aqui,
é fixo para cada sequência, e
varia em
. Assim, para cada
, temos infinitos valores de
que mapeiam para
, garantindo que
seja infinito.
Passo 6
No entanto, precisamos que a função
seja definida de
para
, e não de
para
. Para isso, utilizamos uma bijeção explícita entre
e
.
Uma forma comum de fazer isso é pela função de Cantor:
Essa função associa cada par ordenado
a um número natural único, garantindo que cada
corresponda a um único par
.
Passo 7
Então, podemos definir nossa função
composta pela função de Cantor e pela projeção no primeiro elemento do par ordenado:
Isso significa que, para cada
, existem infinitos
tais que
, já que
pode ser qualquer número natural.
Passo 8
Dessa forma, a função
é sobrejetora porque para todo
, existe pelo menos um
(na verdade, infinitos) tal que
. Além disso, para cada
, o conjunto
é infinito, pois existem infinitos
que satisfazem
.
Resposta
Portanto, foi construída uma função
que é sobrejetora e para a qual cada pré-imagem
é infinita. Isso prova que tal função existe conforme solicitado.
Exercícios relacionados
Sejam
um conjunto finito e
um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .
Existe uma função sobrejetora
Sejam
um conjunto finito e
um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função injetora .
Existe uma função injetora
A função f definida por
é contínua em
? Prove (use a definição de função contínua).
Esboce o gráfico da função
definida por
ache
ache