A temperatura em um ponto de uma placa de metal é graus, onde . Trace as isotermas para e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura em um ponto de uma placa de metal, dada pela equação . A gente precisa desenhar as isotermas para , e . Isotermas são linhas que conectam pontos com a mesma temperatura. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações de curvas no plano cartesiano, especificamente elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são isotermas. Como mencionei, isotermas são linhas onde todos os pontos têm a mesma temperatura. No nosso caso, cada valor de vai gerar uma curva diferente no plano . Então, para cada valor de , vamos estabelecer uma equação e descobrir qual é a forma dessa curva.

Passo 3

Vamos começar com . Substituindo na equação da temperatura:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 8:
Essa equação representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 2 na direção e semi-eixo menor de comprimento 1 na direção .

Passo 4

Agora, vamos para . Substituindo na equação:
Dividindo todos os termos por 2:
Essa também é uma elipse centrada na origem, mas agora com semi-eixo maior de comprimento 1 na direção e semi-eixo menor de comprimento na direção .

Passo 5

Por fim, para , substituímos na equação:
A única solução para essa equação é e , ou seja, o ponto . Portanto, a isotermia para é apenas a origem.

Resposta

As isotermas para a temperatura , e são:
  • Para : (uma elipse maior ao longo do eixo ).
  • Para : (uma elipse maior ao longo do eixo ).
  • Para : (apenas o ponto central).

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