A temperatura em um ponto
de uma placa de metal é
graus, onde
. Trace as isotermas para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura em um ponto
de uma placa de metal, dada pela equação
. A gente precisa desenhar as isotermas para
,
e
. Isotermas são linhas que conectam pontos com a mesma temperatura. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações de curvas no plano cartesiano, especificamente elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são isotermas. Como mencionei, isotermas são linhas onde todos os pontos têm a mesma temperatura. No nosso caso, cada valor de
vai gerar uma curva diferente no plano
. Então, para cada valor de
, vamos estabelecer uma equação e descobrir qual é a forma dessa curva.
Passo 3
Vamos começar com
. Substituindo na equação da temperatura:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 8:
Essa equação representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 2 na direção
e semi-eixo menor de comprimento 1 na direção
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Substituindo na equação:
Dividindo todos os termos por 2:
Essa também é uma elipse centrada na origem, mas agora com semi-eixo maior de comprimento 1 na direção
e semi-eixo menor de comprimento
na direção
.
Passo 5
Por fim, para
, substituímos na equação:
A única solução para essa equação é
e
, ou seja, o ponto
. Portanto, a isotermia para
é apenas a origem.
Resposta
As isotermas para a temperatura
,
e
são:
- Para
: (uma elipse maior ao longo do eixo ). - Para
: (uma elipse maior ao longo do eixo ). - Para
: (apenas o ponto central).
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de uma função
para a qual
,
, e
.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Verifique se a função
é contínua no ponto (0,0)
Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis: