A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal é T graus, onde T = 8x^2 + 2y^2. Trace as isotermas para T=8, T=2 e T = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal, dada pela equação . A gente precisa desenhar as isotermas para , T = 2 e T = 0. Isotermas são linhas que conectam pontos com a mesma temperatura. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações de curvas no plano cartesiano, especificamente elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são isotermas. Como mencionei, isotermas são linhas onde todos os pontos têm a mesma temperatura. No nosso caso, cada valor de T vai gerar uma curva diferente no plano (x, y). Então, para cada valor de T, vamos estabelecer uma equação e descobrir qual é a forma dessa curva.

Passo 3

Vamos começar com . Substituindo na equação da temperatura:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 8:
Essa equação representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 2 na direção y e semi-eixo menor de comprimento 1 na direção x.

Passo 4

Agora, vamos para T = 2. Substituindo na equação:
Dividindo todos os termos por 2:
Essa também é uma elipse centrada na origem, mas agora com semi-eixo maior de comprimento 1 na direção y e semi-eixo menor de comprimento 1/2 na direção x.

Passo 5

Por fim, para T = 0, substituímos na equação:
A única solução para essa equação é x = 0 e y = 0, ou seja, o ponto (0,0). Portanto, a isotermia para T = 0 é apenas a origem.

Resposta

As isotermas para a temperatura , T = 2 e T = 0 são:
  • Para : (uma elipse maior ao longo do eixo y).
  • Para T = 2: (uma elipse maior ao longo do eixo x).
  • Para T = 0: (0,0) (apenas o ponto central).

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