Esboce o gráfico de uma função f para a qual f(0) = -1 ; f'(0) = 0; f'(x) < 0 se x < 0 e f'(x) > 0 se x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar o gráfico de uma função que atende a algumas condições específicas:
  1. Quando , o valor da função é .
  2. A derivada da função em é zero, ou seja, .
  3. Para valores de menores que zero, a derivada é negativa ( ), o que significa que a função está decrescendo.
  4. Para valores de maiores que zero, a derivada é positiva ( ), indicando que a função está crescendo.
Vamos precisar usar conceitos de derivadas e interpretação do comportamento da função com base na sua derivada para esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Se , a função está subindo; se , está descendo; e se , pode estar em um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

Passo 3

Sabemos que em , . Isso significa que a reta tangente ao gráfico de nesse ponto é horizontal. Porém, isso por si só não nos diz se é um pico, vale ou ponto de inflexão. Precisamos olhar o comportamento da derivada ao redor de .

Passo 4

Para , . Isso indica que, à esquerda de , a função está descendo. Já para , , então à direita de , a função está subindo.
Quando a função passa de decrescente para crescente passando por um ponto onde , isso geralmente significa que temos um ponto de mínimo em .

Passo 5

Também sabemos que , então o ponto mínimo da função está neste ponto: .

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Em , a função está descendo e se aproximando de .
  • Em , a função atinge o ponto com a tangente horizontal.
  • Em , a função começa a subir a partir desse ponto.

Resposta

O gráfico de tem um ponto de mínimo em . À esquerda do ponto , a função está descendo, chegando até com uma reta horizontal na tangente. À direita de , a função começa a subir. Assim, o esboço é uma curva em “V” suave com o ponto mais baixo em , descendo para a esquerda e subindo para a direita.

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