Esboce o gráfico de uma função
para a qual
;
se
e
se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa desenhar o gráfico de uma função
que atende a algumas condições específicas:
- Quando
, o valor da função é . - A derivada da função em
é zero, ou seja, . - Para valores de
menores que zero, a derivada é negativa ( ), o que significa que a função está decrescendo. - Para valores de
maiores que zero, a derivada é positiva ( ), indicando que a função está crescendo.
Vamos precisar usar conceitos de derivadas e interpretação do comportamento da função com base na sua derivada para esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Se
, a função está subindo; se
, está descendo; e se
, pode estar em um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Passo 3
Sabemos que em
,
. Isso significa que a reta tangente ao gráfico de
nesse ponto é horizontal. Porém, isso por si só não nos diz se é um pico, vale ou ponto de inflexão. Precisamos olhar o comportamento da derivada ao redor de
.
Passo 4
Para
,
. Isso indica que, à esquerda de
, a função está descendo. Já para
,
, então à direita de
, a função está subindo.
Quando a função passa de decrescente para crescente passando por um ponto onde
, isso geralmente significa que temos um ponto de mínimo em
.
Passo 5
Também sabemos que
, então o ponto mínimo da função está neste ponto:
.
Passo 6
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Em
, a função está descendo e se aproximando de . - Em
, a função atinge o ponto com a tangente horizontal. - Em
, a função começa a subir a partir desse ponto.
Resposta
O gráfico de
tem um ponto de mínimo em
. À esquerda do ponto
, a função está descendo, chegando até
com uma reta horizontal na tangente. À direita de
, a função começa a subir. Assim, o esboço é uma curva em “V” suave com o ponto mais baixo em
, descendo para a esquerda e subindo para a direita.