Mostre que a função escalar dada é harmônica: f(x, y, z) = 2 x^2 + 3 y^2 - 5 z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função escalar é harmônica. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função harmônica e como calcular o Laplaciano, que é a chave pra essa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser harmônica. Uma função é chamada de harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja, se o Laplaciano dela é igual a zero. Matemáticamente, isso é representado por:

Passo 3

O próximo passo é calcular o Laplaciano da função . O Laplaciano é uma operação que envolve as segundas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Para três dimensões, ele é dado por:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das segundas derivadas parciais da função :
  1. Derivada segunda em relação a :
  2. Derivada segunda em relação a :
  3. Derivada segunda em relação a :

Passo 5

Agora, vamos somar essas segundas derivadas parciais para encontrar o Laplaciano da função:

Resposta

Como o Laplaciano é igual a zero, a função é, de fato, harmônica.

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