Mostre que a função escalar dada é harmônica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função escalar
é harmônica. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função harmônica e como calcular o Laplaciano, que é a chave pra essa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser harmônica. Uma função é chamada de harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja, se o Laplaciano dela é igual a zero. Matemáticamente, isso é representado por:
Passo 3
O próximo passo é calcular o Laplaciano da função
. O Laplaciano é uma operação que envolve as segundas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Para três dimensões, ele é dado por:
Passo 4
Vamos calcular cada uma das segundas derivadas parciais da função
:
-
Derivada segunda em relação a
: -
Derivada segunda em relação a
: -
Derivada segunda em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos somar essas segundas derivadas parciais para encontrar o Laplaciano da função:
Resposta
Como o Laplaciano
é igual a zero, a função
é, de fato, harmônica.