Esboce o gráfico da função sabendo o seguinte:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboço do gráfico da função . O enunciado nos dá alguns pontos específicos da função e suas derivadas nesses pontos. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do estudo de funções e suas derivadas. Para resolver, vamos usar essas informações para entender como a função se comporta nesses pontos e desenhar o gráfico com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos e as derivadas que temos:

Passo 3

A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da tangente à função nesse ponto. Então, por exemplo, significa que a tangente à função em é horizontal. Isso geralmente indica um ponto de máximo ou mínimo local.

Passo 4

Vamos analisar cada ponto:
  • Em : e . Como a derivada é zero, temos um possível ponto de máximo ou mínimo aqui.
  • Em : e . A derivada positiva indica que a função está crescente nesse ponto.
  • Em : e . Novamente, a derivada positiva indica que a função está crescendo.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico com base nessas informações:
  1. Marque os pontos , e no plano cartesiano.
  2. Em , desenhe uma tangente horizontal, pois a derivada é zero.
  3. Entre e , a função deve descer porque vai de para e a derivada no meio é positiva, indicando que a inclinação muda.
  4. Entre e , a função está crescendo de para , com inclinação positiva em ambos os pontos.

Passo 6

Lembre-se de que o esboço é apenas uma representação geral. A função pode ter curvas ou mudanças de concavidade entre os pontos dados, mas com as informações fornecidas, a ideia principal é mostrar como a função aumenta e diminui nos intervalos especificados.

Resposta

O gráfico da função passa pelos pontos , e , com inclinação horizontal em , aumentando em e . O esboço reflete esses comportamentos, mostrando a função descendo de para e crescendo de para .

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