Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas a seguir:
  • ,
  • , mas não está definida em

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que precisa cumprir três condições específicas. Isso envolve entender conceitos de limites e continuidade na função. Vamos precisar lembrar o que significa um limite quando se aproxima de algum valor, como isso afeta o gráfico, e o que acontece quando a função não está definida em algum ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira condição: . Isso quer dizer que, à medida que nos aproximamos de , os valores de estão se aproximando de 2. No gráfico, isso significa que a linha da função está tendência a chegar perto de quando chega perto de 1.

Passo 3

Agora, a segunda condição: . Apesar de o limite quando se aproxima de 1 ser 2, o valor real da função em é 5. Isso cria um ponto de descontinuidade conhecido como “salto” ou “ponto removível”. No gráfico, a função se aproxima de 2, mas faz um pulo para chegar em 5 exatamente em .

Passo 4

A terceira condição é , mas não está definida em . Isso significa que, próximo de , os valores de estão se aproximando de 1, mas exatamente em não existe valor da função. No gráfico, teremos uma espécie de “buraco” em , onde a função se aproxima de , mas não tem valor definido ali.

Passo 5

Então, juntando tudo isso, para esboçar o gráfico:
  1. A função se aproxima de quando se aproxima de 1.
  2. Em , a função tem um valor definido de 5, criando um ponto destacado acima da tendência.
  3. Quando se aproxima de 2, a função vai perto de , mas em não há valor, criando um buraco no gráfico.

Resposta

O gráfico de possui uma tendência de se aproximar de perto de com um ponto em , e se aproxima de perto de sem estar definido exatamente em .

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Encontre os pontos críticos da função:
e a regra da cadeia para determinas as derivadas parciais indicadas
e , encontre
e encontre e .
A função dada abaixo é contínua?
Use o TVI para mostrar que as equações a seguir possuem uma raíz no intervalo especificado e encontre uma aproximação de cada raíz com erro máximo de 0.2.
(a) em
(b) em