Esboce o gráfico da função . Note que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . O enunciado também nos diz que o domínio e a imagem dessa função são todos os números reais menos zero, ou seja, . Isso significa que e não podem ser zero. Para resolver isso, vamos dar uma olhada nos principais aspectos da função para desenhar seu gráfico direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as assíntotas dessa função. Assíntotas são linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca.
  • Assíntota Vertical: Como não pode ser zero (domínio), a linha é uma assíntota vertical. Isso significa que o gráfico vai subir ou descer infinitamente perto dessa linha.
  • Assíntota Horizontal: Para , quando aumenta muito ou diminui muito, se aproxima de zero. Então, a linha (o eixo x) é uma assíntota horizontal.

Passo 3

Vamos plotar alguns pontos chave para entender como o gráfico se comporta.
  • Quando :
    Então, temos o ponto .
  • Quando :
    Então, temos o ponto .
  • Quando :
    Então, temos o ponto .
  • Quando :
    Então, temos o ponto .
Esses pontos ajudam a desenhar o gráfico de forma mais precisa.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos pelas assíntotas.
  • Para :
    Conforme aumenta, fica cada vez menor, se aproximando de zero. Conforme se aproxima de zero, aumenta sem limites positivas.
  • Para :
    Conforme diminui (mais negativo), fica cada vez maior em valor absoluto, se aproximando de zero por valores negativos. Conforme se aproxima de zero, diminui sem limites negativas.
Isso cria duas ramas do gráfico: uma no primeiro quadrante (onde e são positivos) e outra no terceiro quadrante (onde e são negativos).

Resposta

Então, o gráfico da função consiste em duas hipérboles separadas pelos eixos. Ele tem uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Uma das ramas está no primeiro quadrante, passando pelos pontos e , e a outra está no terceiro quadrante, passando pelos pontos e . O gráfico nunca toca as assíntotas, mas se aproxima delas conforme se estende para infinito ou menos infinito.

Exercícios relacionados

Encontre a função quadrática tal que e .
Esboce os gráficos de: .
Seja .Encontre, se existir, o valor de:
Escreva a função sem usar valor absoluto.