Em que ponto a reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^2 intercep a reta vertical que passa pelo ponto (2,3) ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar onde a reta tangente ao gráfico dessa função intercepta a reta vertical que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas (para encontrar a reta tangente) e de equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da reta tangente à função em um ponto qualquer . A derivada de nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto.
A derivada de é:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 4

Queremos encontrar onde essa reta tangente intercepta a reta vertical que passa pelo ponto . A reta vertical que passa por é simplesmente .
Para encontrar o ponto de interseção, substituímos na equação da reta tangente:

Passo 5

Sabemos que a reta vertical passa pelo ponto . Portanto, a coordenada da interseção deve ser igual a 3:
Rearranjando a equação:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de :
Portanto, temos duas soluções:

Passo 7

Cada valor de corresponde a um ponto de tangência na função :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As retas tangentes à função que interceptam a reta vertical passando pelo ponto tocam o gráfico nos pontos e .

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