Em que ponto a reta tangente ao gráfico da função
intercep a reta vertical que passa pelo ponto
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar onde a reta tangente ao gráfico dessa função intercepta a reta vertical que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas (para encontrar a reta tangente) e de equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão da reta tangente à função
em um ponto qualquer
. A derivada de
nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto.
A derivada de
é:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 4
Queremos encontrar onde essa reta tangente intercepta a reta vertical que passa pelo ponto
. A reta vertical que passa por
é simplesmente
.
Para encontrar o ponto de interseção, substituímos
na equação da reta tangente:
Passo 5
Sabemos que a reta vertical passa pelo ponto
. Portanto, a coordenada
da interseção deve ser igual a 3:
Rearranjando a equação:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
:
Portanto, temos duas soluções:
Passo 7
Cada valor de
corresponde a um ponto de tangência na função
:
- Para
: - Para
:
Resposta
As retas tangentes à função
que interceptam a reta vertical passando pelo ponto
tocam o gráfico nos pontos
e
.