Esboce o gráfico da função responda as seguintes questões:
(a) Quais são o domínio e a imagem de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que está dividida em partes diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções definidas por partes, além de saber o que significam domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Já a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, ou seja, os possíveis resultados de .
Vamos olhar cada parte da função :
Para :
A função é . Aqui, o radical deve ser maior ou igual a zero para que a expressão esteja definida. Já temos o intervalo , que garante que será positivo, então essa parte está ok.
Para :
A função é constante, . Como não há restrições adicionais, essa parte está definida para todo nesse intervalo.
Para :
A função é constante, . Isso significa que no ponto específico , a função assume o valor 2.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função juntando todos os intervalos onde a função está definida:
De até
De até
No ponto
Então, o domínio é , pois cobre todos os valores de para os quais a função está definida.
Passo 4
Agora, vamos achar a imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis de :
Para : . O maior valor ocorre quando : . O menor valor nesse intervalo é quando se aproxima de 1: . Então, nessa parte, os valores de vão de 0 até 1.
Para : . Aqui, a função sempre vale 1.
Para : . A função assume o valor 2 somente nesse ponto.
Juntando esses resultados, os valores que assume são 0, 1 e 2.