Esboce o gráfico da função responda as seguintes questões:
(a) Quais são o domínio e a imagem de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que está dividida em partes diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções definidas por partes, além de saber o que significam domínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Já a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, ou seja, os possíveis resultados de .
Vamos olhar cada parte da função :
  1. Para :
    A função é . Aqui, o radical deve ser maior ou igual a zero para que a expressão esteja definida. Já temos o intervalo , que garante que será positivo, então essa parte está ok.
  2. Para :
    A função é constante, . Como não há restrições adicionais, essa parte está definida para todo nesse intervalo.
  3. Para :
    A função é constante, . Isso significa que no ponto específico , a função assume o valor 2.

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função juntando todos os intervalos onde a função está definida:
  • De até
  • De até
  • No ponto
Então, o domínio é , pois cobre todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 4

Agora, vamos achar a imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis de :
  1. Para :
    . O maior valor ocorre quando : . O menor valor nesse intervalo é quando se aproxima de 1: . Então, nessa parte, os valores de vão de 0 até 1.
  2. Para :
    . Aqui, a função sempre vale 1.
  3. Para :
    . A função assume o valor 2 somente nesse ponto.
Juntando esses resultados, os valores que assume são 0, 1 e 2.

Resposta

Domínio de :
Imagem de :

Exercícios relacionados

Determine os seguintes limites:
(j) .
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se converge, então converge. ( )
Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinito:
(a)
Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinito:
(h) .