Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções, como domínio, interceptações, simetrias, derivadas para análise de crescimento e decrescimento, e identificação de pontos críticos. Esses elementos nos ajudarão a traçar um esboço preciso do gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Observando a função
:
- A expressão
está definida quando , ou seja, quando . - Não há restrições adicionais do polinômio
, que está definido para todos os .
Portanto, o domínio da função é
.
Passo 3
Calcular as interceptações com os eixos.
-
Interceptação com o eixo y: ocorre quando
. Portanto, a função intercepta o eixo y no ponto. -
Interceptações com o eixo x: ocorrem quando
. Isso acontece quando:-
→ . -
→ .
Porém, como o domínio é, descartamos . Assim, as interceptações com o eixo x são nos pontose . -
Passo 4
Analisar o comportamento da função para
.
Vamos observar o limite da função quando
tende ao infinito:
Portanto, para valores grandes de
, a função tende ao infinito positivo.
Passo 5
Calcular a derivada da função para encontrar pontos críticos e analisar crescimento e decrescimento.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada termo:
Portanto:
Simplificando:
Para facilitar, podemos fatorar
:
Simplificando mais:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
:
Essa equação pode ser resolvida numericamente. Supondo que encontremos uma solução
no domínio
.
Passo 6
Construir a tabela de sinais e determinar intervalos de crescimento e decrescimento.
Com os pontos críticos identificados, podemos analisar o sinal da derivada
nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
- Intervalo 1:
→ positivo ou negativo? - Intervalo 2:
→ positivo ou negativo?
Isso nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 7
Determinar possíveis simetrias e comportamento da função.
Analisando a função
:
- Não é uma função par nem ímpar, pois
e . - Não há simetrias evidentes, então seguimos com a análise padrão.
Passo 8
Esboçar o gráfico com as informações obtidas.
Com todos os dados:
- Domínio:
- Interceptações:
e - Comportamento para
: - Ponto crítico em
(a ser determinado numericamente) - Intervalos de crescimento e decrescimento conforme a derivada
Podemos esboçar o gráfico conectando esses pontos e respeitando os comportamentos analisados.
Resposta
O gráfico da função
é definido para
, intercepta os eixos nos pontos
e
, possui um ponto de máximo local em
(a ser calculado numericamente), cresce no intervalo
e tende ao infinito positivo conforme
aumenta. O esboço reflete esses comportamentos, começando no ponto de origem, descendo até
e então subindo ilimitadamente.
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.
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