Esboce o gráfico da função.
f(x) = (x^2 - 1) * raiz(3 * x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções, como domínio, interceptações, simetrias, derivadas para análise de crescimento e decrescimento, e identificação de pontos críticos. Esses elementos nos ajudarão a traçar um esboço preciso do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Observando a função :
  • A expressão está definida quando , ou seja, quando .
  • Não há restrições adicionais do polinômio , que está definido para todos os .
Portanto, o domínio da função é .

Passo 3

Calcular as interceptações com os eixos.
  • Interceptação com o eixo y: ocorre quando .
    Portanto, a função intercepta o eixo y no ponto .
  • Interceptações com o eixo x: ocorrem quando .
    Isso acontece quando:
    1. .
    2. .
    Porém, como o domínio é , descartamos .
    Assim, as interceptações com o eixo x são nos pontos e .

Passo 4

Analisar o comportamento da função para .
Vamos observar o limite da função quando tende ao infinito:
Portanto, para valores grandes de , a função tende ao infinito positivo.

Passo 5

Calcular a derivada da função para encontrar pontos críticos e analisar crescimento e decrescimento.
Primeiro, encontramos a derivada de :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada termo:
Portanto:
Simplificando:
Para facilitar, podemos fatorar :
Simplificando mais:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos :
Essa equação pode ser resolvida numericamente. Supondo que encontremos uma solução no domínio .

Passo 6

Construir a tabela de sinais e determinar intervalos de crescimento e decrescimento.
Com os pontos críticos identificados, podemos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  • Intervalo 1: positivo ou negativo?
  • Intervalo 2: positivo ou negativo?
Isso nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 7

Determinar possíveis simetrias e comportamento da função.
Analisando a função :
  • Não é uma função par nem ímpar, pois e .
  • Não há simetrias evidentes, então seguimos com a análise padrão.

Passo 8

Esboçar o gráfico com as informações obtidas.
Com todos os dados:
  • Domínio:
  • Interceptações: e
  • Comportamento para :
  • Ponto crítico em (a ser determinado numericamente)
  • Intervalos de crescimento e decrescimento conforme a derivada
Podemos esboçar o gráfico conectando esses pontos e respeitando os comportamentos analisados.

Resposta

O gráfico da função é definido para , intercepta os eixos nos pontos e , possui um ponto de máximo local em (a ser calculado numericamente), cresce no intervalo e tende ao infinito positivo conforme aumenta. O esboço reflete esses comportamentos, começando no ponto de origem, descendo até e então subindo ilimitadamente.

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