Identifique a região de onde as funções dadas são diferenciáveis:
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente precisa identificar as regiões do plano onde a função dada é diferenciável. A função em questão é:
Vamos precisar entender sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis e verificar onde essa função atende aos critérios de ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função ser diferenciável em um ponto implica que ela é contínua nesse ponto. Então, nosso primeiro passo é verificar a continuidade da função nas diferentes regiões.
Dentro do círculo , a função é , que é uma combinação de funções contínuas (raízes e polinômios), então ela é contínua nessa região.
Fora do círculo, ou seja, quando , a função é constante igual a 0, que também é contínua.
Passo 3
Agora, precisamos verificar a diferenciabilidade na fronteira entre as duas regiões, que é o círculo .
Para que a função seja diferenciável na fronteira, as derivadas parciais provenientes de dentro e de fora do círculo precisam coincidir.
Dentro do círculo, a derivada de existe e é contínua. Fora do círculo, a função é constante, então todas as derivadas parciais são zero.
Vamos verificar o que acontece na fronteira:
Como os limites das derivadas não coincidem, a função não é diferenciável na fronteira .
Resposta
A função é diferenciável em todo o plano exceto na circunferência . Ou seja, é diferenciável para todos os pontos onde .