Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como representar visualmente essa função no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Isso significa que para cada ponto
no plano, o valor de
é a raiz quadrada de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar como essa função se comporta. A expressão dentro da raiz quadrada,
, sugere uma combinação ponderada das variáveis
e
, onde o termo
é multiplicado por 2 antes de ser elevado ao quadrado. Isso afeta a “esticabilidade” do gráfico na direção do eixo
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns planos de corte, que são cortes imaginários da superfície em diferentes posições. Por exemplo:
- Plano
: A função se reduz a . Isso é uma linha em forma de “V” ao longo do eixo . - Plano
: A função se reduz a . Isso é uma linha em forma de “V” ao longo do eixo .
Passo 5
Observando esses cortes, percebemos que o gráfico é uma superfície de segundo grau chamada cone elíptico. A diferença aqui é que o coeficiente de
é maior, o que faz com que o cone seja mais “estreito” na direção do eixo
.
Passo 6
Para finalizar o esboço:
- Desenhe um eixo tridimensional com
, e . - Trace as linhas em forma de “V” nos planos
e . - Conecte essas linhas para formar a superfície do cone elíptico, lembrando que o cone se estende indefinidamente para cima e para baixo.
Resposta
O gráfico da função
é um cone elíptico centrado na origem, mais estreito na direção do eixo
devido ao coeficiente 4 em
.
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e
se tornam muito grandes? O que acontece quando
se aproxima da origem?