Esboce o gráfico da função.
f(x, y) = raiz(4 x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como representar visualmente essa função no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Isso significa que para cada ponto no plano, o valor de é a raiz quadrada de .

Passo 3

Agora, vamos analisar como essa função se comporta. A expressão dentro da raiz quadrada, , sugere uma combinação ponderada das variáveis e , onde o termo é multiplicado por 2 antes de ser elevado ao quadrado. Isso afeta a “esticabilidade” do gráfico na direção do eixo .

Passo 4

Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns planos de corte, que são cortes imaginários da superfície em diferentes posições. Por exemplo:
  • Plano : A função se reduz a . Isso é uma linha em forma de “V” ao longo do eixo .
  • Plano : A função se reduz a . Isso é uma linha em forma de “V” ao longo do eixo .

Passo 5

Observando esses cortes, percebemos que o gráfico é uma superfície de segundo grau chamada cone elíptico. A diferença aqui é que o coeficiente de é maior, o que faz com que o cone seja mais “estreito” na direção do eixo .

Passo 6

Para finalizar o esboço:
  • Desenhe um eixo tridimensional com , e .
  • Trace as linhas em forma de “V” nos planos e .
  • Conecte essas linhas para formar a superfície do cone elíptico, lembrando que o cone se estende indefinidamente para cima e para baixo.

Resposta

O gráfico da função é um cone elíptico centrado na origem, mais estreito na direção do eixo devido ao coeficiente 4 em .

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Esboce o gráfico da função.
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Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando x e y se tornam muito grandes? O que acontece quando (x, y) se aproxima da origem?
f(x, y) = (x + y) / (x^2 + y^2)