Esboce o gráfico da função:

Passo 1

Beleza! A gente vai esboçar o gráfico da função . Esse exercício envolve o estudo de superfícies no espaço tridimensional, especificamente superfícies definidas por funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como a função se comporta em relação a e para desenhar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Ou seja:

Passo 3

Vamos rearranjar a inequação para deixar e isolados:
Dividindo todos os termos por 4:
Isso representa uma elipse no plano com semi-eixos de comprimento 2 em e 1 em .

Passo 4

Agora, vamos entender como se comporta dentro desse domínio. Para cada ponto na elipse, o valor de é a altura do gráfico. A função descreve a parte superior de um sólido, já que estamos usando a raiz quadrada.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns cortes:
  • Corte reto :
    Isso é um semicírculo com raio 2 no plano .
  • Corte reto :
    Esse é um semicírculo alongado no plano .

Passo 6

Com esses cortes, percebemos que o gráfico da função é uma elipsoide seccionada pela raiz quadrada, ou seja, apenas a parte superior da elipsoide. Ela tem simetria em relação aos eixos e e atinge o ponto mais alto quando e , que é .

Passo 7

Para finalizar o esboço, desenhe a elipse no plano como base, e então desenhe a superfície curva que se eleva a partir dessa base até o ponto , formando uma espécie de cúpula.

Resposta

O gráfico da função é a parte superior de uma elipsoide com centro na origem, limitada pela elipse no plano e atingindo a altura máxima de 2 no ponto .

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