Esboce o gráfico da função:
Passo 1
Beleza! A gente vai esboçar o gráfico da função
. Esse exercício envolve o estudo de superfícies no espaço tridimensional, especificamente superfícies definidas por funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como a função se comporta em relação a
e
para desenhar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Ou seja:
Passo 3
Vamos rearranjar a inequação para deixar
e
isolados:
Dividindo todos os termos por 4:
Isso representa uma elipse no plano
com semi-eixos de comprimento 2 em
e 1 em
.
Passo 4
Agora, vamos entender como
se comporta dentro desse domínio. Para cada ponto
na elipse, o valor de
é a altura
do gráfico. A função
descreve a parte superior de um sólido, já que estamos usando a raiz quadrada.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns cortes:
-
Corte reto
: Isso é um semicírculo com raio 2 no plano. -
Corte reto
: Esse é um semicírculo alongado no plano.
Passo 6
Com esses cortes, percebemos que o gráfico da função é uma elipsoide seccionada pela raiz quadrada, ou seja, apenas a parte superior da elipsoide. Ela tem simetria em relação aos eixos
e
e atinge o ponto mais alto quando
e
, que é
.
Passo 7
Para finalizar o esboço, desenhe a elipse no plano
como base, e então desenhe a superfície curva que se eleva a partir dessa base até o ponto
, formando uma espécie de cúpula.
Resposta
O gráfico da função
é a parte superior de uma elipsoide com centro na origem, limitada pela elipse
no plano
e atingindo a altura máxima de 2 no ponto
.
Exercícios relacionados
Use integração por partes para resolver as integrais:
Determine e esboce o domínio da função:
Resolva as integrais contendo um trinômio
:
Esboce o gráfico da função: