Resolva as integrais contendo um trinômio
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
.
Matéria envolvida: Integração de funções racionais com radicais, completando o quadrado e substituição trigonométrica.
O que vamos precisar:
- Completar o quadrado: Para simplificar a expressão dentro da raiz.
- Substituição trigonométrica: Para facilitar a integração após completar o quadrado.
- Conhecimento básico de derivadas e antiderivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Temos a expressão
.
Vamos reorganizar:
Fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Portanto, o denominador fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
e
.
Substituindo na integral:
Podemos dividir a integral:
Passo 4
Vamos resolver cada parte separadamente.
- Primeira integral:
Aqui, usamos uma substituição simples: deixe
, então
, o que nos dá:
- Segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco seno.
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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