Resolva as integrais contendo um trinômio a x^2+b x+c : integral (x+3) d xraiz3+4 x-4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral .
Matéria envolvida: Integração de funções racionais com radicais, completando o quadrado e substituição trigonométrica.
O que vamos precisar:
  1. Completar o quadrado: Para simplificar a expressão dentro da raiz.
  2. Substituição trigonométrica: Para facilitar a integração após completar o quadrado.
  3. Conhecimento básico de derivadas e antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Temos a expressão -4x^2 + 4x + 3 .
Vamos reorganizar:
-4(x^2 - x - 34)
Fatoramos o coeficiente de x^2 - x = (x - 12)^2 - 14 :
-4((x - 12)^2 - 14 - 34) = -4((x - 12)^2 - 1) = 4(1 - (x - 12)^2)
Agora, completamos o quadrado para raiz3 + 4x - 4x^2 = raiz4(1 - (x - 12)^2) = 2raiz1 - (x - 12)^2 :
Substituindo de volta:
Portanto, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja integral (u + 12 + 3) du2raiz1 - u^2 = integral (u + 72) du2raiz1 - u^2 , então 12 integral u , duraiz1 - u^2 + 74 integral duraiz1 - u^2 e .
Substituindo na integral:
Podemos dividir a integral:

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeira integral:
integral u , duraiz1 - u^2
Aqui, usamos uma substituição simples: deixe - 12 integral dvraizv = -12 cdot 2raizv = -raiz1 - u^2 , então integral duraiz1 - u^2 = arcsin(u) + C , o que nos dá:
  1. Segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco seno.

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes:
12 (-raiz1 - u^2) + 74 arcsin(u) + C = -12 raiz1 - u^2 + 74 arcsin(u) + C
Lembrando que -12 raiz1 - (x - 12)^2 + 74 arcsin(x - 12) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral -12 raiz1 - (x - 12)^2 + 74 arcsin(x - 12) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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