Matéria envolvida: Integração de funções racionais com radicais, completando o quadrado e substituição trigonométrica.
O que vamos precisar:
Completar o quadrado: Para simplificar a expressão dentro da raiz.
Substituição trigonométrica: Para facilitar a integração após completar o quadrado.
Conhecimento básico de derivadas e antiderivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Temos a expressão .
Vamos reorganizar:
Fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado para :
Substituindo de volta:
Portanto, o denominador fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja integral (u + 12 + 3) du2raiz1 - u^2 = integral (u + 72) du2raiz1 - u^2 , então 12 integral u , duraiz1 - u^2 + 74 integral duraiz1 - u^2 e .
Substituindo na integral:
Podemos dividir a integral:
Passo 4
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira integral:
integral u , duraiz1 - u^2
Aqui, usamos uma substituição simples: deixe - 12 integral dvraizv = -12 cdot 2raizv = -raiz1 - u^2 , então integral duraiz1 - u^2 = arcsin(u) + C , o que nos dá:
Segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco seno.
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes:
12 (-raiz1 - u^2) + 74 arcsin(u) + C = -12 raiz1 - u^2 + 74 arcsin(u) + C
Lembrando que -12 raiz1 - (x - 12)^2 + 74 arcsin(x - 12) + C , substituímos de volta:
Resposta
A integral -12 raiz1 - (x - 12)^2 + 74 arcsin(x - 12) + C é igual a: