Resolva as integrais contendo um trinômio :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral .
Matéria envolvida: Integração de funções racionais com radicais, completando o quadrado e substituição trigonométrica.
O que vamos precisar:
  1. Completar o quadrado: Para simplificar a expressão dentro da raiz.
  2. Substituição trigonométrica: Para facilitar a integração após completar o quadrado.
  3. Conhecimento básico de derivadas e antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Temos a expressão .
Vamos reorganizar:
Fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado para :
Substituindo de volta:
Portanto, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja , então e .
Substituindo na integral:
Podemos dividir a integral:

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeira integral:
Aqui, usamos uma substituição simples: deixe , então , o que nos dá:
  1. Segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco seno.

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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