Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Esse tipo de função faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente envolvendo superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado tanto para o
quanto para o
para facilitar o entendimento do formato do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a função agrupando os termos de
e de
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Passo 3
Para o termo de
, temos
. A gente completa o quadrado assim:
Passo 4
Já para o termo de
, temos
. Completando o quadrado:
Passo 5
Substituindo de volta na função original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Agora, a função está na forma
. Isso representa uma superfície conhecida como paraboloide elíptico. Como os coeficientes de
e
são positivos, o paraboloide está “abrindo” para cima.
Passo 7
O centro desse paraboloide está no ponto
, já que é onde as expressões
e
se anulam.
Passo 8
Para esboçar o gráfico, imagine uma tigela aberta para cima, centrada no ponto
. À medida que
e
se afastam desse ponto, o valor de
aumenta, formando a forma característica de um paraboloide.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide elíptico que se abre para cima, centrado no ponto
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função.
Determine e esboce o domínio da função.
Seja
.
Determine a imagem de .
Determine a imagem de
Seja
.
Determine o domínio de .
Determine o domínio de