Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa esboçar o gráfico da função . Esse tipo de função faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente envolvendo superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado tanto para o quanto para o para facilitar o entendimento do formato do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a função agrupando os termos de e de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .

Passo 3

Para o termo de , temos . A gente completa o quadrado assim:

Passo 4

Já para o termo de , temos . Completando o quadrado:

Passo 5

Substituindo de volta na função original:
Simplificando os termos constantes:

Passo 6

Agora, a função está na forma . Isso representa uma superfície conhecida como paraboloide elíptico. Como os coeficientes de e são positivos, o paraboloide está “abrindo” para cima.

Passo 7

O centro desse paraboloide está no ponto , já que é onde as expressões e se anulam.

Passo 8

Para esboçar o gráfico, imagine uma tigela aberta para cima, centrada no ponto . À medida que e se afastam desse ponto, o valor de aumenta, formando a forma característica de um paraboloide.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima, centrado no ponto .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função.
Determine e esboce o domínio da função.
Seja .
Determine a imagem de .
Seja .
Determine o domínio de .