Seja .
Determine a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função e pede para determinar a imagem dessa função. Isso envolve entender para quais valores de a função pode chegar, ou seja, quais são os possíveis resultados que pode produzir. Vamos precisar usar conceitos de funções e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro da raiz quadrada: . Para que a expressão dentro da raiz seja válida (já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais), é necessário que:
Isso garante que o valor dentro da raiz seja não negativo.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade:
Podemos reescrever isso como:
Dividindo todos os termos por 36 para simplificar:
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Passo 4

Agora que sabemos que devem estar dentro ou na fronteira dessa elipse, vamos ver os valores que pode assumir. A função é a raiz quadrada da expressão que já sabemos estar entre 0 e 36:
Aplicando a raiz quadrada em todos os lados:
Portanto, varia de 0 a 6.

Resposta

A imagem de é o intervalo .

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Seja .
Determine o domínio de .
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