Seja
.
Determine a imagem de
.
Determine a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função
e pede para determinar a imagem dessa função. Isso envolve entender para quais valores de
a função pode chegar, ou seja, quais são os possíveis resultados que
pode produzir. Vamos precisar usar conceitos de funções e desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que está dentro da raiz quadrada:
. Para que a expressão dentro da raiz seja válida (já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais), é necessário que:
Isso garante que o valor dentro da raiz seja não negativo.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade:
Podemos reescrever isso como:
Dividindo todos os termos por 36 para simplificar:
Essa é a equação de uma elipse no plano
.
Passo 4
Agora que sabemos que
devem estar dentro ou na fronteira dessa elipse, vamos ver os valores que
pode assumir. A função
é a raiz quadrada da expressão que já sabemos estar entre 0 e 36:
Aplicando a raiz quadrada em todos os lados:
Portanto,
varia de 0 a 6.
Resposta
A imagem de
é o intervalo
.
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Esboce o gráfico da função.
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Seja
.
Determine o domínio de .
Determine o domínio de
Determine e esboce o domínio da função.