esboce o gráfico da função, identifique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua suas coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função no intervalo de . Além disso, precisamos identificar os pontos onde a função tem valores extremos (máximos e mínimos) e anotar suas coordenadas. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e derivadas para encontrar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral da função . Essa é uma função que envolve uma raiz cúbica de . O expoente indica que estamos tirando a raiz cúbica do quadrado de , e o coeficiente afeta a inclinação e a direção do gráfico.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos críticos onde os extremos podem ocorrer. A derivada de em relação a é:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
No entanto, esta equação nunca é verdadeira porque o numerador é constante e o denominador não pode ser zero. Portanto, não há pontos onde a derivada é zero.
Passo 5
Além disso, precisamos verificar os pontos onde a derivada não existe. A derivada não existe quando porque não podemos dividir por zero. Portanto, é um ponto crítico onde pode ocorrer um extremo.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função próximo a :
- Para próximo a 0, mas positivo, é grande e negativa.
- Para próximo a 0, mas negativo, também é grande e negativa.
Isso indica que a função tem um ponto de inflexão em , mas não necessariamente um máximo ou mínimo local.
Passo 7
Além dos pontos críticos, examinamos os extremos nos bordos do intervalo dado, que são e .
Calculando nesses pontos:
Resposta
O gráfico da função no intervalo de apresenta um ponto de mínimo nos extremos do intervalo. Os pontos onde ocorrem valores extremos são:
-
-
Não há máximos locais dentro do intervalo considerado.
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Verifique se cada função possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
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Resolva as seguintes equações: