esboce o gráfico da função, identifique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua suas coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função
no intervalo de
. Além disso, precisamos identificar os pontos onde a função tem valores extremos (máximos e mínimos) e anotar suas coordenadas. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e derivadas para encontrar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral da função
. Essa é uma função que envolve uma raiz cúbica de
. O expoente
indica que estamos tirando a raiz cúbica do quadrado de
, e o coeficiente
afeta a inclinação e a direção do gráfico.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos críticos onde os extremos podem ocorrer. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
No entanto, esta equação nunca é verdadeira porque o numerador é constante e o denominador não pode ser zero. Portanto, não há pontos onde a derivada é zero.
Passo 5
Além disso, precisamos verificar os pontos onde a derivada não existe. A derivada
não existe quando
porque não podemos dividir por zero. Portanto,
é um ponto crítico onde pode ocorrer um extremo.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função próximo a
:
- Para
próximo a 0, mas positivo, é grande e negativa. - Para
próximo a 0, mas negativo, também é grande e negativa.
Isso indica que a função tem um ponto de inflexão em
, mas não necessariamente um máximo ou mínimo local.
Passo 7
Além dos pontos críticos, examinamos os extremos nos bordos do intervalo dado, que são
e
.
Calculando
nesses pontos:
Resposta
O gráfico da função
no intervalo de
apresenta um ponto de mínimo nos extremos do intervalo. Os pontos onde ocorrem valores extremos são:
Não há máximos locais dentro do intervalo considerado.